Soluções Matemática - Semana 20

0 Flares Facebook 0 0 Flares ×

Iniciante

Seja d=mdc(x,y) e chame x=x_1 \cdot d e y=y_1 \cdot d de forma que mdc(x_1,y_1)=1. Logo: a = \dfrac{x^2+y^2}{xy} = \dfrac{d^2(x_1)^2+d^2(y_1)^2}{d^2 x_1y_1} = \dfrac{x_1^2+y_1^2}{x_1y_1} e consequentemente, x_1\mid y_1^2 e y_1\mid x_1^2 e não há outra opção além de x_1=1 e y_1=1: a=\dfrac{1^2+1^2}{1\cdot 1}=2.

Itermediário:

Sim. Tomando n=10111111111, temos n^2=102234567898987654321.

Avançado:

Temos 2\cdot3^x = 7^y - 1. Note que a maior potência de 3 que divide 7-1 é 3. Seja 3^m a maior potência de 3 que divide y. Então, pelo lema de Hensel, a maior potência de 2 que divide 7^y-1 é 3^{m+1}. Logo x \le m+1. Observando ainda que, como 3^m divide y, 3^m \le y,

2\cdot3^{m+1} \ge 2\cdot3^x = 7^y-1 \ge 7^{3^m} - 1.

Deste modo, sendo t=3^m, temos 6t \ge 7^t - 1 \Longleftrightarrow 7^t \le 1+6t, que é verdadeiro para t=0 e t=1 mas falso para t>1, pois nesse caso 7^t = (6+1)^t > \left( {\begin{array}{*{20}c} t \\ 0 \\ \end{array}} \right)1^t + \left( {\begin{array}{*{20}c} t \\ 1 \\ \end{array}} \right)1^{t-1}\cdot6 = 1 + 6t. Notando que t=3^me que ocorre a igualdade para t=1, temos m=0 e que todas as desigualdades anteriores são igualdades, isto é, x=m+1=1 e y=3^m=1.

0 Flares Facebook 0 0 Flares ×
0 Flares Facebook 0 0 Flares ×
%d bloggers like this: