Soluções Matemática - Semana 21

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Iniciante

Como mdc(8,29)=1, pelo pequeno teorema de Fermat: 8^{29-1}\equiv1\pmod{29} \Rightarrow (8^{28})^{32}\equiv1^{32}\pmod{29} \Rightarrow 8^{896}\equiv1\pmod{29} \Rightarrow 8^{900}\equiv8^4\equiv8^2 \cdot 8^2 \equiv 64 \cdot 64 \equiv 6 \cdot 6 \equiv 7\pmod{29} \Rightarrow 8^{900} deixa resto 7 na divisão por 29.

Intemediário

Aplicação direta do Teorema de Turán:

\mid A \mid \ge \dfrac{n^2}{2}(1-\dfrac{1}{5}) = \dfrac{4n^2}{10} = \dfrac{2n^2}{5}

Avançado

A prova consistirá no princípio de dualidade da Geometria Projetiva: se letras maiúsculas representam os pontos e letras minúsculas suas respectivas polares, então

R \in s \Rightarrow S \in r

Por construção , a reta polar de X é BC. Daí, P \in x e portanto X \in p. Mas então, como A \in p, segue que

p = AX

o que, em particular, garante que AX e PO são perpendiculares.

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