Matemática - Semana 22

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Iniciante

Seja n>2 um inteiro. Prove que:
(k+1)(n-k)>n
se k=1,2,3, ...,n-2.

Intermediário

Prove que para todos os reais não-negativos a,b,c vale que

\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b} \ge \dfrac{3}{2}

Avançado

Considere 2n pontos no plano, quaisquer 3 deles não colineares. Pintamos n deles de vermelho e os outros de azul. Prove que é possível agrupar os pontos em pares utilizando segmentos com extremidades em pontos de cores distintas de modo que quaisquer dois segmentos não se cortem.

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