Soluções Matemática - Semana 22

Iniciante

Observe que:
$(k+1)(n-k)>n \Leftrightarrow nk-k^2+n-k>n \Leftrightarrow nk-k^2-k>0$ (como $k>0$) $\Leftrightarrow n-k-1>0 \Leftrightarrow n>k+1$
O que é verdade, pois $k=1, 2, 3, ..., n-2$.

Intermediário

Considere as expressões abaixo:

$S=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}$

$M=\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{a}{a+b}$

$N=\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{a+b}$

Temos que $M+N=3$ e por $MA\ge$$MG$:

$S+M=\dfrac{a+b}{b+c}+\dfrac{b+c}{a+c}+\dfrac{c+a}{a+b} \ge 3$

$S+N=\dfrac{a+c}{b+c}+\dfrac{b+a}{a+c}+\dfrac{c+b}{a+b} \ge 3$

Logo $M+N+2S \ge 6 \Rightarrow 2S \ge 3 \Rightarrow S \ge \dfrac{3}{2}$.

Avançado

Veja a soma de todos os segmentos. Agora pegue o pareamento que possui a menor soma possível e suponha que ele possua dois segmentos que se cortam, digamos que $AB$ e $CD$ se cortando em $O$, pela desigualdade triangular:

• No triângulo $AOD$ temos $AO+OD > AD$;
• No triângulo $BOC$ temos $BO+OC > BC$.

Portanto $AB + CD = AO + BO + CO + OD > AD + BC$ e a soma dos segmentos diminuí ao trocarmos $AB$ e $CD$ por $AD$ e $BC$ e logo o pareamento que possui soma mínima não pode ter dois segmentos que se cortem, se não por absurdo sempre haverá um pareamento com soma menor que a mínima. Logo existe um pareamento em que todos os segmentos não se cortam.