Soluções Matemática - Semana 22

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Iniciante

Observe que:
(k+1)(n-k)>n \Leftrightarrow nk-k^2+n-k>n \Leftrightarrow nk-k^2-k>0 (como k>0) \Leftrightarrow n-k-1>0 \Leftrightarrow n>k+1
O que é verdade, pois k=1, 2, 3, ..., n-2.

Intermediário

Considere as expressões abaixo:

S=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}

M=\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{a}{a+b}

N=\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{a+b}

Temos que M+N=3 e por MA\geMG:

S+M=\dfrac{a+b}{b+c}+\dfrac{b+c}{a+c}+\dfrac{c+a}{a+b} \ge 3

S+N=\dfrac{a+c}{b+c}+\dfrac{b+a}{a+c}+\dfrac{c+b}{a+b} \ge 3

Logo M+N+2S \ge 6 \Rightarrow 2S \ge 3 \Rightarrow S \ge \dfrac{3}{2}.

Avançado

Veja a soma de todos os segmentos. Agora pegue o pareamento que possui a menor soma possível e suponha que ele possua dois segmentos que se cortam, digamos que AB e CD se cortando em O, pela desigualdade triangular:

  • No triângulo AOD temos AO+OD > AD;
  • No triângulo BOC temos BO+OC > BC.

Portanto AB + CD = AO + BO + CO + OD > AD + BC e a soma dos segmentos diminuí ao trocarmos AB e CD por AD e BC e logo o pareamento que possui soma mínima não pode ter dois segmentos que se cortem, se não por absurdo sempre haverá um pareamento com soma menor que a mínima. Logo existe um pareamento em que todos os segmentos não se cortam.

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