Soluções Matemática - Semana 23

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Iniciante

3^{2^n}+1 \equiv (-1)^{2^n}+1 (\mod 4) mas 2^n é par para n>0 logo (-1)^{2k}+1 \equiv 1^k+1 \equiv 1+1 \equiv 2 (\mod 4), isto quer dizer que 3^{2^n}+1 é par e não múltiplo de 4, como queríamos demonstrar.

Intermediário

Pela identidade de Vandermonde temos:

{2p \choose p} = {p \choose p} {p \choose 0} + {p \choose 1} {p \choose p-1} + ... + {p \choose p} {p \choose 0}

Mas veja que para 1 \le k \le p-1 temos que p divide {p \choose k}, mas perceba que {p \choose p} {p \choose 0} = 1 , então temos que {2p \choose p} \equiv 2 (\mod p^2).

Avançado

Temos que:

f(x) + f(\dfrac{1}{1-x}) = x (1)

Chame y=\dfrac{1}{1-x}, então temos que:

f(y) + f(\dfrac{1}{1-y}) = y

f(\dfrac{1}{1-x}) + f(\dfrac{x-1}{x}) = \dfrac{1}{1-x} (2)

Chame z=\dfrac{1}{1-y}=\dfrac{x-1}{x}, então temos que:

f(z) + f(\dfrac{1}{1-z}) = z

f(\dfrac{x-1}{x}) + f(x) = \dfrac{x-1}{x} (3)

Somando (1) e (3) temos:

2f(x) + f(\dfrac{x-1}{x}) + f(\dfrac{1}{1-x}) = x + \dfrac{x-1}{x}

Substituindo por (2) temos:

2f(x) + f(\dfrac{x-1}{x}) + f(\dfrac{1}{1-x}) = x + \dfrac{x-1}{x}

2f(x) + \dfrac{1}{1-x} = x + \dfrac{x-1}{x}

f(x) = \dfrac{x^3-x+1}{2x(x-1)}

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