Matemática - Semana 3

Iniciante

Batata tem $90$ cartões. Ele numerou os cartões de $10$ a $99$ numa das faces e, para cada número escrito, escreveu a soma dos seus algarismos na outra face. Por exemplo, o cartão de número $56$ tem o número $11$ escrito no verso. Em quais cartões o número de uma face é o dobro do número escrito na outra face?

Intermediário

Ciprian Manolesco gosta de jogar futebol, mas se jogar dois dias seguidos ele fica com dores musculares. De quantas maneiras Ciprian pode escolher em quais de dez dias seguidos ele vai jogar bola sem ter dores musculares? Veja que não jogar nenhum dia é uma opção válida.

Avançado

Prove que não existe uma tripla $(m,n,t)$ de inteiros positivos tais que $3^m + 3^n + 1=t^2$