Matemática - Semana 4

Iniciante

Se $(a,b,c,d)$ é  a quádrupla $(1,2,3,4)$ em alguma ordem, qual é o maior valor possível de $ab+bc+cd+da$.

Intermediário

Daniel usa os números de $1$ a $8$ e escreve dois números de $4$ dígitos cada.

a) Se a diferença entre os dois é a maior possível, qual é a soma desses números?

b) Se a soma desses dois é a menor possível, qual é a menor diferença possível entre eles?

Avançado

a) Ache todos os inteiros $n$ tais que $[\sqrt{n}]=2015$

b) Sejam $a$ e $b$ inteiros positivos tais que $[\sqrt{a}] \cdot [\sqrt{b}]=[\sqrt{ab}]$. Prove que ao menos um desses dois inteiros deve ser um quadrado perfeito.

Lembrete: $[x]$ é o maior inteiro que é menor do que ou igual a $x$.