Soluções Matemática - Semana 4

Iniciante

Veja a belíssima fatoração da nossa expressão: $ab+bc+cd+da=(a+c)(b+d)$. Agora, nosso problema se resume a pegar dois pares dentre os números ${1,2,3,4}$ e ver qual o maior produto das somas dos pares.

Possíveis produtos:

$(1+2)(3+4)=21$

$(1+3)(2+4)=24$

$(1+4)(2+3)=30$

Logo, o máximo da nossa soma é $30$

Intermediário

A)Para a maior diferença possível devemos ter o maior número possível menos o menor número possível, de preferência. O maior número possível de se formar é $8765$ e o menor é $1234$, Logo a máxima diferença é $7531$

B)Para gerar a menor diferença devemos ter a diferença entre os números da unidade de milhar sendo a menor possível, no caso 1.

Sendo $A$ e $B$, com $A>B$, o dígito dos milhares de $A$ é $1$ a mais que o de $B$ e e em compensação O resto dos algarismos de $B$ devem formar o maior número possível e os de $A$ devem formar o menor possível ($876$ e $123$, respectivamente), de modo a obter a menor diferença possível. Daí a menor diferença possível é $5123-4876 = 247$.

 Avançado

Agora vem uma ideia nova: Suponha que $a^2\le x <(a+1)^2$ com $a$ inteiro não negativo e $x$ um real não negativo $\Longrightarrow a\le \sqrt{x} <(a+1)^ \Longrightarrow [\sqrt{x}]=a$

Assim, escrevendo $x=a^2+b$, com $0\le b \le 2a$, então $[\sqrt{x}]=a$.

Agora, faça $a=x^2+y$ e $b=z^2+w$, com $x,y,z,w$ inteiros não negativos, $y\le 2x$ e $w\le 2z$.

Assim $[\sqrt{ab}]=[\sqrt{a}][\sqrt{b}]=xz \Longrightarrow ab<(xz+1)^2 \Longrightarrow (x^2+y)(z^2+w)<(xz)^2+2(xz)+1$ $(*)$

Suponha que nenhum dos números é um quadrado perfeito, logo $y\ge 1$  e $w\ge 1$. Daí, juntando isso com $(*)$ temos que

$(x^2 +1)(z^2 +1) \le (x^2+y)(z^2+w)<(xz)^2+2(xz)+1 \Longrightarrow (xz)^2+x^2 + z^2 +1<(xz)^2+2xz+1 \Longrightarrow x^2 +z^2<2xz$, que é um absurdo por $MA\ge MG$. Logo $x$ ou $z$ é $0$ implicando que $a$ ou $b$ é um quadrado perfeito e daí o problema acabou.