Soluções Matemática - Semana 4

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Iniciante

Veja a belíssima fatoração da nossa expressão: ab+bc+cd+da=(a+c)(b+d). Agora, nosso problema se resume a pegar dois pares dentre os números {1,2,3,4} e ver qual o maior produto das somas dos pares.

Possíveis produtos:

(1+2)(3+4)=21

(1+3)(2+4)=24

(1+4)(2+3)=30

Logo, o máximo da nossa soma é 30

Intermediário

A)Para a maior diferença possível devemos ter o maior número possível menos o menor número possível, de preferência. O maior número possível de se formar é 8765 e o menor é 1234, Logo a máxima diferença é 7531

B)Para gerar a menor diferença devemos ter a diferença entre os números da unidade de milhar sendo a menor possível, no caso 1.

Sendo A e B, com A>B, o dígito dos milhares de A é 1 a mais que o de B e e em compensação O resto dos algarismos de B devem formar o maior número possível e os de A devem formar o menor possível (876 e 123, respectivamente), de modo a obter a menor diferença possível. Daí a menor diferença possível é 5123-4876 = 247.

 Avançado

Agora vem uma ideia nova: Suponha que a^2\le x <(a+1)^2 com a inteiro não negativo e x um real não negativo \Longrightarrow a\le \sqrt{x} <(a+1)^ \Longrightarrow [\sqrt{x}]=a

Assim, escrevendo x=a^2+b, com 0\le b \le 2a, então [\sqrt{x}]=a.

Agora, faça a=x^2+y e b=z^2+w, com x,y,z,w inteiros não negativos, y\le 2x e w\le 2z.

Assim [\sqrt{ab}]=[\sqrt{a}][\sqrt{b}]=xz \Longrightarrow ab<(xz+1)^2 \Longrightarrow (x^2+y)(z^2+w)<(xz)^2+2(xz)+1 (*)

Suponha que nenhum dos números é um quadrado perfeito, logo y\ge 1  e w\ge 1. Daí, juntando isso com (*) temos que

(x^2 +1)(z^2 +1) \le (x^2+y)(z^2+w)<(xz)^2+2(xz)+1 \Longrightarrow (xz)^2+x^2 + z^2 +1<(xz)^2+2xz+1 \Longrightarrow x^2 +z^2<2xz, que é um absurdo por MA\ge MG. Logo x ou z é 0 implicando que a ou b é um quadrado perfeito e daí o problema acabou.

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