Soluções Matemática - Semana 5

Iniciante

Suponha que os números de 1 a 9 estão dispostos no quadrado mágico como abaixo:

$A$     $B$     $C$

$D$     $E$     $F$

$G$     $H$     $I$

Assim, sabemos que $A+B+C=X$, $D+E+F=X$ e $G+H+I=X$. Somando tudo temos $A+B+...+I=3X$. Porém, já sabemos que as letras de $A$ a $I$ representam os números de $1$ a $9$, logo $A+B+...+I=1+2+...+9=45 \Longrightarrow 3X=45 \Longrightarrow X=15$. Agora só precisamos mexer um pouco mais com o que temos.

Sabemos que $A+E+I=15$ e $C+E+G=15$ que nos dá $A+C+G+I+2E=30$ $(1)$

Também temos $A+B+C=15$ e $G+H+I=15$ que nos dá $A+B+C+G+H+I=30$ $(2)$.

Subtraindo $(2)$ de $(1)$ obtemos que $B+H=2E$.

Para terminar, temos que $B+E+H=X \Longrightarrow 3E=15 \Longrightarrow E=5$ e o problema acabou!

Intermediário

Problemas como esse de contagem requerem calma. Há algumas formas de fazer essa contagem, algumas mais desgastantes e outras menos. É preciso pensar um pouco pra ver qual estratégia acabará de mais simples o problema. No nosso caso, iremos tratá-lo do seguinte modo.

Vamos contar quantas vezes o números $1$ aparece em cada casa de um número de 6 dígitos. Considere os números de $000000$ até $999999$. Para exemplificar, fixe o número $1$ na casa das unidades de milhar. Temos um número $_ _ 1 _ _ _$ a ser formado. Veja que cada combinação de dígitos que botarmos nos espaços em branco nos dará um número de no máximo $6$ dígitos e que todo número de no máximo $6$ algarismos que tem o número $1$ como dígito das unidades de milhar aparecerá ao variarmos as possibilidades. Agora temos que lembrar o fato de que a soma dos dígitos de um número deixam o mesmo resto que ele por $3$. Logo, para o nosso número de até $6$ dígitos ser divisível por $3$ a soma dos outros $5$ dígitos deve ser congruente a $2$ módulo $3$. Basicamente, os 5 dígitos restantes devem formar, sem o $1$ entre eles, um número congruente a $2$ módulo $3$. Mas quantos números há desse tipo entre $1$ e $99999$ ? Claramente $\dfrac{99999}{3}=33333$. Logo, essa é a quantidade de vezes que o número $1$ aparece nas unidades de milhar.

Agora, do mesmo modo que fizemos isso para o número 1 no algarismo das unidades de milhar, poderíamos ter feito para qualquer outraposição. Então, o total de aparições de dígitos $1$ em múltiplos de $3$ menores que $1000000$ é $33333\cdot 6=166665$

 Avançado

Considere as posições de uma sequência da esquerda para a direita, da $1$ até a $2002$. Diremos que um número está numa posição par, se o número correspondente à sua posição é par e a mesma coisa definiremos para o ímpar. Suponha que exista uma configuração como pedida no enunciado.

Se $K$ é par, entre os dois números $K's$ haverá uma quantidade par de casa e logo, os dois $K's$ da sequência terão posições de paridades distintas. Já se $K$ é ímpar, os dois $K's$ da sequência terão posições de mesma paridade.

Inicialmente , há $1001$ posições pares e $1001$ posições ímpares. Ponha os números pares nas suasdevidas posições. Como havia $500$ pares deles, cobrimos $500$ posições ímpares e $500$ posições pares, deixando assim $501$ de cada. Agora , ponha de $1$ por $1$ os pares de números ímpares em suas posições, cobrindo duas posições ímpares ou duas posições pares. Desse modo, os números ímpares terão coberto uma quantidade par de posições pares e uma quantidade par de posições ímpares, um absurdo, pois precisávamos cobrir $501$ de cada. Logo o que supomos no início é falso e a sequência desejada não existe!