Soluções Matemática - Semana 5

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Iniciante

Suponha que os números de 1 a 9 estão dispostos no quadrado mágico como abaixo:

A     B     C

D     E     F

G     H     I

Assim, sabemos que A+B+C=X, D+E+F=X e G+H+I=X. Somando tudo temos A+B+...+I=3X. Porém, já sabemos que as letras de A a I representam os números de 1 a 9, logo A+B+...+I=1+2+...+9=45 \Longrightarrow 3X=45 \Longrightarrow X=15. Agora só precisamos mexer um pouco mais com o que temos.

Sabemos que A+E+I=15 e C+E+G=15 que nos dá A+C+G+I+2E=30 (1)

Também temos A+B+C=15 e G+H+I=15 que nos dá A+B+C+G+H+I=30 (2).

Subtraindo (2) de (1) obtemos que B+H=2E.

Para terminar, temos que B+E+H=X \Longrightarrow 3E=15 \Longrightarrow E=5 e o problema acabou!

Intermediário

Problemas como esse de contagem requerem calma. Há algumas formas de fazer essa contagem, algumas mais desgastantes e outras menos. É preciso pensar um pouco pra ver qual estratégia acabará de mais simples o problema. No nosso caso, iremos tratá-lo do seguinte modo.

Vamos contar quantas vezes o números 1 aparece em cada casa de um número de 6 dígitos. Considere os números de 000000 até 999999. Para exemplificar, fixe o número 1 na casa das unidades de milhar. Temos um número _ _ 1 _ _ _ a ser formado. Veja que cada combinação de dígitos que botarmos nos espaços em branco nos dará um número de no máximo 6 dígitos e que todo número de no máximo 6 algarismos que tem o número 1 como dígito das unidades de milhar aparecerá ao variarmos as possibilidades. Agora temos que lembrar o fato de que a soma dos dígitos de um número deixam o mesmo resto que ele por 3. Logo, para o nosso número de até 6 dígitos ser divisível por 3 a soma dos outros 5 dígitos deve ser congruente a 2 módulo 3. Basicamente, os 5 dígitos restantes devem formar, sem o 1 entre eles, um número congruente a 2 módulo 3. Mas quantos números há desse tipo entre 1 e 99999 ? Claramente \dfrac{99999}{3}=33333. Logo, essa é a quantidade de vezes que o número 1 aparece nas unidades de milhar.

Agora, do mesmo modo que fizemos isso para o número 1 no algarismo das unidades de milhar, poderíamos ter feito para qualquer outraposição. Então, o total de aparições de dígitos 1 em múltiplos de 3 menores que 1000000 é 33333\cdot 6=166665

 Avançado

Considere as posições de uma sequência da esquerda para a direita, da 1 até a 2002. Diremos que um número está numa posição par, se o número correspondente à sua posição é par e a mesma coisa definiremos para o ímpar. Suponha que exista uma configuração como pedida no enunciado.

Se K é par, entre os dois números K's haverá uma quantidade par de casa e logo, os dois K's da sequência terão posições de paridades distintas. Já se K é ímpar, os dois K's da sequência terão posições de mesma paridade.

Inicialmente , há 1001 posições pares e 1001 posições ímpares. Ponha os números pares nas suasdevidas posições. Como havia 500 pares deles, cobrimos 500 posições ímpares e 500 posições pares, deixando assim 501 de cada. Agora , ponha de 1 por 1 os pares de números ímpares em suas posições, cobrindo duas posições ímpares ou duas posições pares. Desse modo, os números ímpares terão coberto uma quantidade par de posições pares e uma quantidade par de posições ímpares, um absurdo, pois precisávamos cobrir 501 de cada. Logo o que supomos no início é falso e a sequência desejada não existe!

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