Soluções Matemática - Semana 6

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Iniciante

Podemos fatorar a expressão x^2 -(r+s)x+rs como (x-r)(x-s) e ficamos com (r-s(x-s)=2010. Fazendo a=r-x e b=x-s, devemos achar os possíveis valores de |a+b|=|r-s|, sabendo que a e b tem a mesma paridade e que ab=2010. Podemos supor sem perda de generalidade a e b inteiros positivos e assim temos 16 possíveis pares (a,b):

(1,2010),(2,1005),(3,670),(5,402),(6,335),(10,201),(15,134),(30,67) e as duplas invertidas

Tais duplas gerarão todas as 8 possibilidades de |r-s|. Agora é só testar.

 

Intermediário

Não podemos esquecer a importante fatoração a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2). Usando isso no problema dado temos

(a+b)(a^2-ab+b^2)=1 \Longrightarrow (a+b)[(a+b)^2-3ab]=1 \Longrightarrow (a+b)^3-3ab(a+b)=1 (1)

Também temos (a+b)(a+1)(b+1)=2 \Longrightarrow (a+b)(ab+a+b+1)=2 \Longrightarrow (a+b)ab+(a+b)^2+(a+b)=2 (2)

Interessante, agora fizemos surgir o fator (a+b) nas duas equações, que provavelmente é um bom sinal, mas esses fatores (a+b)ab são um pouco incovenientes, então iremos retirá-los. Para tanto, devemos multiplicar a equação (2) por 3 para que apareça 3ab(a+b) e assim ficamos com 3ab(a+b)+3(a+b)^2+3(a+b)=6 (3)

Por fim, somando (1) e (3) temos que (a+b)^3+3(a+b)^2+3(a+b) =7 \Longrightarrow (a+b+1)^3-1=7\Longrightarrow (a+b+1)^3 =8\Longrightarrow a+b+1=2\Longrightarrow a+b=1 e assim concluímos o problema.

 

Avançado

Para provar esse clássico resultado usaremos a notação [ABC] para a área de um triangulo qualquer ABC. façamos primeiro a ida, ou seja, supomos que as três cevianas concorrem num ponto O e daí concluímos a relação do enunciado.

Usaremos o tempo todo o famoso método K, que afirma que as áreas de dois triângulos de mesma altura são proporcionais às medidas de suas bases. Assim, na figura dada:

Ceva

\dfrac{AF}{BF}=\dfrac{[AFC]}{[BFC]}=\dfrac{[AFO]}{[BFO]} \Longrightarrow\dfrac{AF}{BF}=\dfrac{[AFC]}{[BFC]}- \dfrac{[AFO]}{[BFO]}=\dfrac{[AOC]}{[BOC]}.

A partir daí obtemos resultados análogos para as outras frações \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{[AOB]}{[AOC]} e \dfrac{CE}{EA}=\dfrac{[COB]}{[AOB]}. por fim multiplicamos tudo e vemos que todas as áreas irão se cancelar deixando como resultado:

\dfrac{AF}{BF}\cdot\dfrac{BD}{DC}\cdot\dfrac{CE}{EA}=1 Como queríamos!

Para provar a volta usaremos a ida. Suponha que os três pontos D,E,F satisfazem a relação do enunciado, mas as cevianas AD,BE e CF não concorrem. Seja O a interseção de BE e CF e seja D' a interseção de AO com o lado BC. Do que provamos logo acima, temos que \dfrac{AF}{BF}\cdot\dfrac{BD'}{D'C}\cdot\dfrac{CE}{EA}=1

Juntando essa informação com a que assumimos no inicio de que \dfrac{AF}{BF}\cdot\dfrac{BD}{DC}\cdot\dfrac{CE}{EA}=1 obtemos que \dfrac{BD'}{D'C}=\dfrac{BD}{DC} e como D' e D estão no interior do lado AC só podemos ter D=D' que implica que AD,BE e CF concorrem em O que contradiz o que assumimos no início. Logo, o que supomos no início é falsoe a relação dada no enunciado de fato implica que AD,BE e CF concorrem, como queríamos demonstrar.

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