Matemática - Semana 7

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Iniciante

Seja x um inteiro positivo tal que x é múltiplo de 5, x+1 é múltiplo de 7, x+2 é múltiplo de 9 e x+3 é múltiplo de 11. Ache o menor valor que x pode assumir para tornar verdadeiras todas as afirmações anteriores.

Intermediário

Usando a mesma ideia do problema avançado da semana passada, prove o Teorema de Menelaus:

Dado um triangulo ABC,sejamD,E e F três pontos sobre as retas BC,CA e AB,respectivamente, de modo que D,E e F são colineares, então \dfrac{AF}{BF} \cdot \dfrac{BD}{CD} \cdot \dfrac{CE}{AE} =1

Avançado

O exótico biólogo Daniel se escondeu numa ilha deserta por 1 ano e enquanto estava lá descobriu a ameba Farianos Brittus que tinha propriedades muito peculiares:

  • 1) Só havia 2 cores possíveis para tais amebas: ocre e magenta.
  • 2) Quando uma ameba ocre se junta com uma magenta, as duas se transformam em 3 amebas ocres.
  • 3) Quando duas amebas magentas se juntam, as duas se transformam em 4 amebas ocres.
  • 4) Quando duas amebas ocres se juntam, elas se transformam numa única ameba magenta.

Na primeira observação de Daniel havia 201 amebas magentas e 112 amebas ocres.

a) É possível após algumas transformações termos exatamente 100 amebas magentas e 314 amebas ocres?

b) É possível após algumas transformações termos exatamente 99 amebas magentas e 314 amebas ocres?

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