Soluções Matemática - Semana 7

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Iniciante

Há modos mais gerais de resolver esse problema, mas eles podem ser um pouco chatos. O fato que nos ajuda nesse problema específico é que 5,7,9,11 são número ímpares consecutivos e x,x+1,x+2,x+3 são números inteiros consecutivos, nos levando ao seguinte bizu:

2x-5=2(x+1)-7=2(x+2)-9=2(x+3)-11 é múltiplo de 5,7,9 e 11, respectivamente.

Logo, 2x-5 deve ser múltiplo de 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11=3465, o que implica que 2x-5 é no mínimo 3465, que nos fornece que o valor mínimo possível de x é 1735.

 

Intermediário

menelaus

 

Provaremos o problema nesse configuração de pontos, onde D e E estão dentro dos segmentos BC e CA, repsectivamente, enquanto F está fora do segmento AB, mas entenda que o enunciado vale para quaisquer localizações de D,E,F, porém as outras provas são semelhantes o suficiente para não nos preocuparmos com isso aqui. Sejam H,I,J os pés das perpendiculares de A,B,C, respectivamente, à reta que passa por D,E e F. Agora, por semelhanças de triângulos podemos ver que:

\dfrac{FA}{FB}=\dfrac{AH}{BI}

\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BI}{CJ}

\dfrac{CE}{EA}=\dfrac{CJ}{AH}

E por fim, multiplicando esse três resultados obtemos que \dfrac{FA}{FB}\cdot\dfrac{BD}{DC}\cdot\dfrac{CE}{EA}=1. Como queríamos demonstrar!

 

Avançado

Vamos usar uma ideia extremamente importante no meio olímpico: vamos achar uma invariante. Como o próprio nome já diz, vamos achar algo que não varia quando fazemos uma operação e assim poderemos comparar a situação final pedida nos ítens a e b com a situação apresentada no início.

Associe a cada ameba ocre o número 1 e a cada ameba magenta o número 2. observe que:

  • Na operação 2 trocamos uma ameba ocre e uma magenta (de valor total 1+2=3) por três ocres (de valor total 3\cdot 1=3).
  • Na operação 3 trocamos duas amebas magentas (de valor total 2+2=4) por quatro ocres (de valor total 4\cdot 1=4).
  • Na operação 4 trocamos duas amebas ocres (de valor total 1+1=2) por uma magenta (de valor total 2).

Assim, a soma dos números associados às amebas não varia após uma operação, qualquer que seja ela. No início, a soma dos números é 201\cdot 2+112=514

No ítem a, a soma final dos números seria 100\cdot 2 +314=514, que dá igual à soma inicial, nos dando a entender que provavelmente é possível obter a configuração final pedida. Vamos tentar construir uma sequência de operações para que isso ocorra.

Juntando 101 amebas ocres com 101 amebas magentas de acordo com a operação 2, obteremos 303 amebas ocres, que, junto com as 111 outras amebas ocres restantes totaliza 314 amebas ocres. Nesse momento temos 201-101=100 amebas magentas, que é o que o problema pedia, logo, tal configuração é alcançável.

No ítem b, a soma final dos números seria 99\cdot 2 +314=512, que é diferente da soma inicial. Desse modo, tal configuração final não pode ser atingida a partir do ponto inicial do problema.

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