Soluções Matemática - Semana 7

Iniciante

Há modos mais gerais de resolver esse problema, mas eles podem ser um pouco chatos. O fato que nos ajuda nesse problema específico é que $5,7,9,11$ são número ímpares consecutivos e $x,x+1,x+2,x+3$ são números inteiros consecutivos, nos levando ao seguinte bizu:

$2x-5=2(x+1)-7=2(x+2)-9=2(x+3)-11$ é múltiplo de $5,7,9$ e $11$, respectivamente.

Logo, $2x-5$ deve ser múltiplo de $5\cdot 7\cdot 9\cdot 11=3465$, o que implica que $2x-5$ é no mínimo $3465$, que nos fornece que o valor mínimo possível de $x$ é $1735$.

 

Intermediário

 

Provaremos o problema nesse configuração de pontos, onde $D$ e $E$ estão dentro dos segmentos $BC$ e $CA$, repsectivamente, enquanto $F$ está fora do segmento $AB$, mas entenda que o enunciado vale para quaisquer localizações de $D,E,F$, porém as outras provas são semelhantes o suficiente para não nos preocuparmos com isso aqui. Sejam $H,I,J$ os pés das perpendiculares de $A,B,C$, respectivamente, à reta que passa por $D,E$ e $F$. Agora, por semelhanças de triângulos podemos ver que:

$\dfrac{FA}{FB}=\dfrac{AH}{BI}$

$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BI}{CJ}$

$\dfrac{CE}{EA}=\dfrac{CJ}{AH}$

E por fim, multiplicando esse três resultados obtemos que $\dfrac{FA}{FB}\cdot\dfrac{BD}{DC}\cdot\dfrac{CE}{EA}=1$. Como queríamos demonstrar!

 

Avançado

Vamos usar uma ideia extremamente importante no meio olímpico: vamos achar uma invariante. Como o próprio nome já diz, vamos achar algo que não varia quando fazemos uma operação e assim poderemos comparar a situação final pedida nos ítens $a$ e $b$ com a situação apresentada no início.

Associe a cada ameba ocre o número $1$ e a cada ameba magenta o número $2$. observe que:

• Na operação $2$ trocamos uma ameba ocre e uma magenta (de valor total $1+2=3$) por três ocres (de valor total $3\cdot 1=3$).
• Na operação $3$ trocamos duas amebas magentas (de valor total $2+2=4$) por quatro ocres (de valor total $4\cdot 1=4$).
• Na operação $4$ trocamos duas amebas ocres (de valor total $1+1=2$) por uma magenta (de valor total $2$).

Assim, a soma dos números associados às amebas não varia após uma operação, qualquer que seja ela. No início, a soma dos números é $201\cdot 2+112=514$

No ítem $a$, a soma final dos números seria $100\cdot 2 +314=514$, que dá igual à soma inicial, nos dando a entender que provavelmente é possível obter a configuração final pedida. Vamos tentar construir uma sequência de operações para que isso ocorra.

Juntando $101$ amebas ocres com $101$ amebas magentas de acordo com a operação $2$, obteremos $303$ amebas ocres, que, junto com as $111$ outras amebas ocres restantes totaliza $314$ amebas ocres. Nesse momento temos $201-101=100$ amebas magentas, que é o que o problema pedia, logo, tal configuração é alcançável.

No ítem $b$, a soma final dos números seria $99\cdot 2 +314=512$, que é diferente da soma inicial. Desse modo, tal configuração final não pode ser atingida a partir do ponto inicial do problema.