Soluções Matemática - Semana 8

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Iniciante (Solução por Daniel Lima Braga)

Bem, esse é o primeiro problema da primeira prova da IMO de todos os tempos. Para resolve-lo primeiro lembre o que torna uma fração irredutível: Ter o mdc do numerador e do denominador igual a 1. Como ainda não sabemos nada sobre o mdc da nossa fração, chame d=mdc(21n+4,14n+3). Por definição sabemos que d|21n+4 e d|14n+3. Sabemos que d dividirá qualquer soma de algum múltiplo de 21n+4 com algum múltiplo de 14n+3. Vamos fazer com que esse múltiplos somem de modo a retirarmos o n "da jogada". Assim:

d|(21n+4)\cdot 2 - (14n+3)\cdot 3=-1 \Longrightarrow d|1 \Longrightarrow d=1

Desse modo concluímos que o mdc do numerador e do denominador da fração dada é igual a 1 e concluímos que a fração é irredutível.

 

Intermediário (Solução por Daniel Lima Braga)

Veja que dado 0<a\le b e procurando achar o menor c maior que b tal que a,b,c não são lados de um triangulo achamos que o c mínimo é c=a+b. Seja nossos 15 números: 1=a_1<a_2<a_3<...<a_15.Usando o fato há pouco citado temos

  • a_3\ge a_2+a_1
  • a_4\ge a_3+a_2
  • ...
  • a_{15}\ge a_{14}+a_{13}

Vamos tentar deixar todas as desigualdades em função de a_1 e a_2

  • a_3\ge a_2+a_1
  • a_4\ge a_3+a_2\ge 2a_2+a_1
  • a_5\ge a_4+a_3\ge (2a_2+a_1)+(a_2+a_1)=3a_2+2a_1

Nosso bom chute é que a_x\ge F_{x-1}a_2 + F_{x-2}a_1.

De fato, por indução: a_{x+2}\ge a_{x+1}+a_x\ge (F_{x+1}a_2 + F_{x}a_1)+(F_{x}a_2 + F_{x-1}a_1) =(F_{x+2}a_2 + F_{x+1}a_1)

Assim, fazendo a_2=1+t, com t>0 Temos a_15\ge F_14 x_2 + F_13 x_1 = 610 +377t e como podemos fazer t tão pequeno quando quisermos, concluimos oproblema por dizer que o maior dos 15 números pode assumir qualquer valor real maior que 610.

 

Avançado (Solução por Daniel Lima Braga)

Vamos usar a mágica dos números complexos aqui! Geralmente, para resolver problemas como esse, colorimos o tabuleiro seguindo algum padrão legal. A diferença é que a nossa "coloração será associando números para cada casinha do tabuleiro: para a casa da linha i e coluna j associe o número x^i\cdot y^j.

Veja que a soma dos números cobertos por uma peça pX1 é x^i\cdot y^j+x^{i+1}\cdot y^j+...+x^{i+p-1}\cdot y^j=(1+x+...+x^{p-1})x^i\cdot y^j. E analogamente, a soma dos números cobertos por uma peça 1Xq é =(1+y+...+y^{q-1})x^i\cdot y^j.

Faça x=cis(\frac{2\pi}{p})y=cis(\frac{2\pi}{q}), pois isso fará as duas somas citadas acima se tornarem 0, pois os parenteses serão iguais a 0. Desse modo, se o preenchimento é possível, quer dizer que a soma de todos os números no tabuleiro é 0. Mas veja que tal soma é (x+x^2+..+x^a)(y^1+y^2+...+y^b)=xy \dfrac{(1-x^a)(1-x^b)}{(1-x)(1-y)}=0 e os dois únicos modos disso ocorrer é se x^a=1 ou y^b=1. Mas, do modo que escolhemos x e y como p-esimas e q-esimas raízes primitivas da unidade, ficamos com p|a ou q|b, como queríamos demonstrar.

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