Soluções Matemática - Semana 9

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Iniciante

Esse é o típico problema que aparece na prova para te assustar. Mas olhe com um pouco mais de atenção: temos expoentes muito grandes e estranhos, mas vamos focar nos expoentes pequenos. No caso, temo dois expoentes 2, então passa tudo para um lado só e fatora.

n^2-a_1^2-(n+a_1)(n-a_1) e fazendo a_1=x e n=x+1 daí teríamos n^2-a_1^2=2x+1, ou seja, nessa diferença entre quadrados conseguimos qualquer número ímpar e maior que 1 que quisermos.

Para encerrar a história, faça a_2 um número par bem grande e a_3,a_4,...,a_2015 números ímpares grandes também.

Daí a^2+...+a_2015^(P_2015) é ímpar e portanto igual a um certo 2k+1 com k inteiro positivo. Daí basta fazer n=k+1 e a_1=k e assim achamos um exemplo que funciona para o problema.

Intermediário

Veja que, da equaçao dada vemos que f(x) é múltiplo de 3 para todo x, e substituindo x por g(x) temos que 3 divide f(g(x)) para todo x. Voltando para a equação inicial temos agora que 3^2 divide f(x) para todo x (pois já temos um fator 3 em f(g(x))). De 3^2|f(x) \Longrightarrow 3^2|f(g(x)). De novo na equação inicial vemos agora que 3^3|f(x). Podemos fazer esse processo repetidas vezes e obter por indução simples que, para cada k inteiro positivo temos que

3^k|f(x) para todo x.

Opa! Mas, fixado um x, sabemos que f(x) é um valor definido e finito e o único inteiro que é múltiplo de todas as potencias de 3 é o 0. Assim concluímos que f(x)=0 para todo x inteiro e é fácil testar e ver que esa função satisfaz o enunciado do problema.

Avançado

Esses problemas que só envolvem f de uma variável tem algumas ideias bem clássicas que devemos ter sempre em mente, como olhar para ponto fixos da função, achar funções recorrentes, dentre outras. A ideia que vamos explorar aqui é forçar o aparecimento de uma função que desejamos e usar o que aprendemos no problema do intermediário, veja só:

Tente chutar a função que você imagina que fosse a resposta. A maioria dos chutes é de uma função linear, às vezes uma função exponencial, mas após alguns testes vemos que f(x)=2x satisfaz o problema! Vamos tentar provar que ela é a única solução.

Podemos escrever f(x)=2x+h(x), onde h também é uma função dos inteiros nos inteiros. Nossa intenção agora é provar que h é a função identicamente nula. Vamos lá!

7f(x)=3f(f(x))+2x \Longrightarrow 14x+7h(x)=3f(h(x)+2x)+2x=3[2(h(x)+2x)+h(h(x)+2x)]+2x \Longrightarrow14x+7h(x)=14x+6h(x)+3h(h(x)+2x) \Longrightarrow h(x)=3h(h(x)+2x). Olha que beleza, se olharmos para h(x)+2x como uma função g(x) ficamos com h(x)=3h(g(x)) e como vimos no problema anterior, h será a função identicamente nula.

Assim, a função que procuramos é únicamente f(x)=2x

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