Matemática - Soluções Semana 28

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INICIANTE:

Seja P o primeiro pino que voltou para a sua posição inicial. Um movimento antes dele voltar para sua casa, cada um dos outros pinos deve ter feito um movimento. De fato, se isso não fosse verdade, P não poderia ter passado por todas as casas do tabuleiro. Desse modo, este será o momento em que todos os pinos estarão em casas diferentes das iniciais.

INTERMEDIÁRIO:

Se n+2 e n^2+n+1 são ambos cubos perfeitos, então seu produto também é um cubo perfeito:
(n+2)(n^2+n+1)=(n-1)(n^2+n+1)+3\cdot(n^2+n+1)=(n^3-1)+(3n^2+3n+3)<wbr />=(n+1)^3+1
Absurdo! Não existem dois cubos perfeitos cuja diferença é 1.

AVANÇADO:

x^2-6y+10=4\sqrt{3x-2}-4y
y^2-4x+11=6\sqrt{4y-3}-3x
Somando temos:
x^2-4x+4+y^2-6y+9+8=4\cdot\sqrt{3x-2}-4y+6\sqrt{4y-3}-3x
Chame a=\sqrt{3x-2} e b=\sqrt{4y-3}. Temos:
(x-2)^2+(y-3)^2+8=4a-4y+6b -3x
(x-2)^2+(y-3)^2+(4y-3)+(3x-2)+13-4a-6b=0
(x-2)^2+(y-3)^2+a^2-4a+4+b^2-6b+9=0
(x-2)^2+(y-3)^2+(a-2)^2+(b-3)^2=0
Portanto:
x=2 ou y=3 ou a=2 \Rightarrow x=2 ou b=3 \Rightarrow y=3
Logo x=2 e y=3 é solução única.
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