NOIC - Matemática - Soluções - Semana 33

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AVANÇADO

Aplicando MA-MG, nós temos

\dfrac{1+ab}{1+(bc)^2}=(1+<wbr />ab)-\dfrac{(1+ab)(bc)^2}{1+(<wbr />bc)^2}\ge 1+ab-\dfrac{(1+ab)bc}{2}.

Somando de modo similar temos,

\sum_{cyc} \dfrac{1+ab}{1+(bc)^2}\ge \sum_{cyc} ab - \dfrac{1}{2} \sum_{cyc} (1+ab)bc = 4 + \dfrac{1}{2} ( \sum_{cyc} ab - \sum_{cyc} ab^2c ).

Isso é o mesmo que provar que:

ab+bc+cd+da\ge ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b

Aplicando o familiar resultado xy+yz+zt+tx\ge \dfrac{1}{4} (x+y+z+t)^2, nós temos que

(ab+bc+cd+da)^2\ge 4 (ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b)
16=(a+b+c+d)^2\ge 4 (ab+bc+cd+da)

Multiplicando as desigualdades acima chegamos em nosso resultado, como queríamos demonstrar.

 

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