Matemática - Semana 16

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Iniciante

Ache todos os números de 5 algarismo que são quadrados perfeitos e que ao remover seus dígitos das dezenas de milhar continuam quadrados perfeitos.

Um exemplo de tal número seria 75625, pois 75625=275^2 e 5625=75^2

Intermediário

Esse é um fato que talvez seja básico, mas é muito importante para todo aluno olímpico: Dado n inteiro positivo e p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}...\cdot p_k^{a_k} a sua fatoração em números primos, então a quantidade de divisores inteiros positivos de n é (a_1+1)(a_2+1)...(a_k+1)

Avançado

Em cada casinha de um tabuleiro 13X13 está escrito um número inteiro. Sabe-se que os números de duas casinhas vizinhas, isto é, que tem um lado em comum, sempre diferem em uma unidade e que os número 2 e 24 aparecem duas vezem cada. Quantas vezes o número 13 foi escrito? Dê todas as possibilidades.

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