Problemas Semana 12 (Semana da Potencia de Ponto)

Problema Iniciante

Seja $C_1$ uma circunferência e  $P$ um ponto no plano dessa circunferência:

1. Se $P$ entá dentro da circunferência e uma reta que passa por $P$ a toca em dois pontos $A$ e $B$, prove que $PA\cdot PB=R^2- PO^2$ onde $R$ e $O$ são, respectivamente, o raio e o centro de $C_1$.
2. Se $P$ entá fora da circunferência e uma reta que passa por $P$ a toca em dois pontos $A$ e $B$, prove que $PA\cdot PB=PO^2-R^2$ onde $R$ e $O$ são, respectivamente, o raio e o centro de $C_1$.

Observe que em particular esse teorema nos garante que se tivermos duas retas que passam por $P$ e que tocam $C_1$ nos pares de pontos {$A,B$} e {$C,D$} poderemos concluir que $PA\cdot PB=PC\cdot PD$ pois tal produto é fixado pela circunferência e pela posição de $P$ relativa a ela.

 

 

Problema Intermediário

Dadas duas circunferências $C_1$ e $C_2$, prove a existência do eixo radical: prove que o lugar geométrico (o conjunto dos pontos que satisfazem a condição a seguir) dos pontos que tem a mesma potência de ponto relativa a $C_1$ e a $C_2$ é uma reta que é perpendicular à reta que liga os centros das duas circunferências dadas.

OBS: A potência de ponto de um ponto $P$ relativa a uma circunferência de centro $O$ e raio $R$ é definida como $PO^2-R^2$.

No problema iniciante aprendemos uma importante propriedade sobre a potência de ponto.

 

Problema Avançado

Sejam dadas 3 circunferências $C_1,C_2$ e $C_3$. Prove que os eixos radicais dos pares de circuferências {$C_1,C_2$},{$C_2,C_3$} e {$C_3,C_1$} são concorrentes em um único ponto.