Problemas Semana 12 (Semana da Potencia de Ponto)

0 Flares Facebook 0 0 Flares ×

Problema Iniciante

Seja C_1 uma circunferência e  P um ponto no plano dessa circunferência:

  1. Se P entá dentro da circunferência e uma reta que passa por P a toca em dois pontos A e B, prove que PA\cdot PB=R^2- PO^2 onde R e O são, respectivamente, o raio e o centro de C_1.
  2. Se P entá fora da circunferência e uma reta que passa por P a toca em dois pontos A e B, prove que PA\cdot PB=PO^2-R^2 onde R e O são, respectivamente, o raio e o centro de C_1.

Observe que em particular esse teorema nos garante que se tivermos duas retas que passam por P e que tocam C_1 nos pares de pontos {A,B} e {C,D} poderemos concluir que PA\cdot PB=PC\cdot PD pois tal produto é fixado pela circunferência e pela posição de P relativa a ela.

 

 

Problema Intermediário

Dadas duas circunferências C_1 e C_2, prove a existência do eixo radical: prove que o lugar geométrico (o conjunto dos pontos que satisfazem a condição a seguir) dos pontos que tem a mesma potência de ponto relativa a C_1 e a C_2 é uma reta que é perpendicular à reta que liga os centros das duas circunferências dadas.

OBS: A potência de ponto de um ponto P relativa a uma circunferência de centro O e raio R é definida como PO^2-R^2.

No problema iniciante aprendemos uma importante propriedade sobre a potência de ponto.

 

Problema Avançado

Sejam dadas 3 circunferências C_1,C_2 e C_3. Prove que os eixos radicais dos pares de circuferências {C_1,C_2},{C_2,C_3} e {C_3,C_1} são concorrentes em um único ponto.

0 Flares Facebook 0 0 Flares ×
0 Flares Facebook 0 0 Flares ×
%d bloggers like this: