Problemas - Semana 27 Matemática

BÁSICO

Demonstre que $n|\phi(a^n-1)$ para todo inteiro positivo $a>1$

 

INTERMEDIÁRIO

Para cada inteiro positivo $n$, seja $f(n)$ o mdc de $n!+1$ e $(n+1)$! (onde "!" denota fatorial). Para cada $n$ inteiro positivo, determine $f(n)$.

 

AVANÇADO

Seja ${a_n} (n\ge 1)$ uma sequência tal que $a_1=4$ e, para todo $n$ inteiro positivo:

$a_{n+1} = \dfrac{a_n}{2} + \dfrac{2}{a_n}$

Determine $a_n$ em função de $n$.