Problemas - Matemática - Semana 33

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BÁSICO:

Prove que as expressões 2x+3y e 9x+5y são divisíveis por 17 para os mesmos pares de valores dos inteiros x e y.

 

INTERMEDIÁRIO:

Considere todos os subconjuntos não-vazios do conjunto {1,2,...,n}, dos n primeiros números naturais. Para cada um desses subconjuntos calculamos o produto de seus elementos. Encontre a soma de todos os produtos obtidos. (Obs: Se um subconjunto tem um único elemento, esse elemento é o produto).

 

AVANÇADO

Sejam a, b, c, d números reais não-negativos tais que sua soma é 4. Prove que:

\dfrac{1+ab}{1+(bc)^2}+\dfrac{1+bc}{1+(cd)^2}+\dfrac{1+cd}{1+(da)^2}+\dfrac{1+da}{1+(ab)^2}\ge 4

 

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