Semana 27 - Soluções Matemática

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BÁSICO

Já que mdc(a,a^n-1)=1, pelo teorema de Euler-Fermat temos que a^{\phi(a^n-1)}\equiv 1 \pmod{a^n-1}; por outro lado, n é a ordem de a módulo a^n-1 já que a^n\equiv1\pmod{a^n-1} e se 0<t<n temos 0<a^t-1<a^n-1 e assim a^n-1 não divide a^t-1. Como a^j\equiv1\pmod{m} \Rightarrow ord_m a|j temos portanto n|\phi(a^n-1).

INTERMEDIÁRIO

Comece notando que mdc(n!,n!+1)=1\Rightarrow f(n)=mdc((n+1)!,n!+1)=mdc(n+1,<wbr />n!+1). Se n+1=p primo, então pelo Teorema de Wilson temos n!\equiv(p-1)!\equiv -1 \pmod{p} \Rightarrow n+1|n!+1\Rightarrow f(n)=n+1. Se n+1 não é primo, então para cada fator primo q de n+1, teremos q<n+1 \Rightarrow q\le n \Rightarrow q|n!. Com isso, podemos concluir que nesse caso f(n)=1.

AVANÇADO

Observe que:
a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2} + \dfrac{2}{a_n} = \dfrac{a_n^2+4}{2a_n}  \Rightarrow a_{n+1}\pm 2=\dfrac{a_n^2\pm 4a_{n}+4}{2a_{n}}=\dfrac{(a_{n} \pm 2)^2}{2a_n}
Assim, temos que:
\dfrac{a_{n+1}+2}{a_{n+1}-2}=(\dfrac{a_n+2}{a_n-2})^2 para todo n\ge1.
Assim, é fácil ver que, por indução:
\dfrac{a_n+2}{a_n-2}=(\dfrac{a_1+2}{a_1-2})^{2^{n-1}}=(\dfrac{4+2}{4-2})^{2^{n-1}} = 3^{2^{n-1}}
Com isso, concluímos que:
a_n=2(\dfrac{3^{2^{n-1}}+1}{3^{2^{n-1}}-1}) para todo n\ge 1.
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