INICIANTE
Alguns pinos estão em um tabuleiro de xadrez. A cada segundo, um dos pinos move para uma casa vizinha (lado em comum). Após muito tempo verificou-se que cada pino havia passado por todas as casas do tabuleiro exatamente uma vez e tinha voltado para a sua casa inicial. Prove que existiu um momento em que todos os pinos estavam fora de sua casa inicial.
![](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.gif?w=640&ssl=1)
INTERMEDIÁRIO
Se
é um inteiro não-negativo, prove que os números
e
não podem ser ambos cubos perfeitos.
![n](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.gif?w=640&ssl=1)
![n+2](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_9c79b95bd5c976488be3eb116502d690.gif?w=640&ssl=1)
![n^2+n+1](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_a9faa09b54fb6d13477669f713491117.gif?w=640&ssl=1)
![](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.gif?w=640&ssl=1)
AVANÇADO
Resolva o sistema:
![x^2-4\sqrt{3x-2}+10=2y](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_a3da6a994d9f2b59fcbe46b70475288a.gif?w=640&ssl=1)
![y^2-6\sqrt{4y-3}+11=x](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_1f4410391577db4938c727d3c55d7b43.gif?w=640&ssl=1)
![](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.gif?w=640&ssl=1)