Semana 32 - Soluções - Matemática

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INICIANTE:

Por absurdo, suponha que exista. Em particular, a não é múltiplo de p. Elevando a congruência à \dfrac{p-1}{2}-ésima potência e aplicando o Teorema de Fermat, obtemos:
a^{p-1} \equiv (-1)^{\dfrac{p-1}{2}} \pmod{p}
 1 \equiv -1 \pmod{p},
pois \dfrac{p-1}{2} é ímpar. Isso nos dá a contradição requerida.

INTERMEDIÁRIO:

Da relação do problema, temos:
a^3=6(a+1)
\Rightarrow a^2=\dfrac{6(a+1)}{a} (1)
pois a é positivo. Por absurdo, se a equação do segundo grau requerida tem solução real, então seu discriminante é não-negativo:
a^2 - 4(a^2-6) \ge 0
-3a^2+24 \ge 0
8 \ge a^2
o que, por (1) equivale a:
8 \ge \dfrac{6(a+1)}{a}
a \ge 3
a^2 \ge 9 ,
contradizendo 8 \ge a^2.

AVANÇADO:

Seja d=mdc(a,b), digamos
a=d\cdot a_0
b=d\cdot b_0
onde o mdc(a_0,b_0)=1. Então:
2^{a}-1=2^{d\cdot a_0}-1=(2^{d}-1)\cdot(2^{d(a_0 -1)}+2^{d(a_0-2)}+...+1)
é múltiplo de 2^d-1. Aplicando a mesma fatoração para 2^{b}-1, segue que
2^{d}-1 \div mdc(2^{a}-1,2^{b}-1).
Para a divisibilidade inversa, sejam x,y inteiros positivos tais que
d=ax-by.
Então 2^{ax}-1, 2^{by}-1 são múltiplos de mdc(2^{a}-1,2^{b}-1) e daí
mdc(2^{a}-1,2^{b}-1) \div (2^{ax}-1)-(2^{by}-1)
mdc(2^{a}-1,2^{b}-1) \div 2^{d+by}-2^{by}
mdc(2^{a}-1,2^{b}-1) \div 2^{by}(2^{d}-1)
mdc(2^{a}-1,2^{b}-1) \div 2^{d}-1
pois mdc(2^{a}-1,2^{b}-1) é ímpar.
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