Soluções - Matemática

INICIANTE:

Suponha que existem um número finito de números primos e chame o conjunto destes de $S = {p_1 , p_2 , p_3 , ... , p_n}$ , pegue o produtos destes $n$ primos e chame de $P = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot ... \cdot p_n$ . O número $P+1$ é um número não divisível por nenhum dos primo, portanto é primo, ou seja, absurdo. Logo temos um número infinito de primos.

INTERMEDIÁRIO:

Pegue um número

$N$ tal que:

$N \equiv -1 (mod p_1 \cdot p_2)$

$N \equiv -2 (mod p_3 \cdot p_4)$

...

$N \equiv -(n+1) (mod p_{2n-1} \cdot p_{2n})$

Onde os

$2n$ números primos são distintos dois a dois. Pelo Teorema Chinês dos Restos tal

$N$ existe e portanto:

$N+1 \equiv 0 (mod p_1 \cdot p_2)$

$N+2 \equiv 0 (mod p_3 \cdot p_4)$

...

$N+n+1 \equiv 0 (mod p_{2n-1} \cdot p_{2n})$

Portanto temos

$n$ números consecutivos que são múltiplos de dois primos distintos, ou seja, não são potência de primo.

AVANÇADO:

Suponha que existe um número finitos destes primos. Sejam

$p_1 , p_2 , ... , p_n$ todos os primos da forma

$4k+1$ . Seja:

$x = 2 \cdot p_1 \cdot p_2 ... \cdot p_n$

Tome

$q$ primo tal que

$q$ divide

$x^2+1$

$x^2 \equiv -1 (mod \ q)$ , como

$x$ é par então

$q$ ímpar.

$(x^2)^{\dfrac{q-1}{2}} \equiv (-1)^{\dfrac{q-1}{2}} (mod \ q)$

Como

$mdc(x,q)=1$ então

$x^(q-1) \equiv 1 (mod \ q) \Rightarrow (-1)^{\dfrac{q-1}{2}} \equiv 1 (mod \ q)$ Logo

$\dfrac{q-1}{2}$ é par, ou seja,

$q \equiv 1 (mod 4)$ .