Soluções Matemática – Semana 29

INICIANTE

Temos $\dfrac{x+y}{xy}=1 \Rightarrow x+y=xy \Rightarrow y=x(y-1) \Rightarrow x=\dfrac{y-1+1}{y-1} \Rightarrow x=1+\dfrac{1}{y-1}$, portanto $y=2$ pois $mdc(y, (y-1))=1$. Logo a solução é $(2,2)$.

INTERMEDIÁRIO

Temos que $2\cdot 10^{k} + 17 \equiv 0 (mod 2017) \Rightarrow 2\cdot 10^{k} + 17 \equiv 2017 (mod 2017) \Rightarrow 10^{k-3} \equiv 1 (mod 2017)$.
Pois $2000$ é invertível módulo $2017$. Como $mdc (10,2017) = 1$ então $10^{\phi (2017) \cdot t} \equiv 1 (mod 2017)$ para todo $t$ inteiro positivo. Logo basta tomar $k= \phi (2017) \cdot t + 3$.

AVANÇADO

Sabemos que $2^{\phi (5^{2000})} \equiv 1 (mod 5^{2000})$ , portanto existe $k$ inteiro positivo com:

$2^{\phi (5^{2000})} = 5^{2000} \cdot k +1 \Rightarrow 2^{2000 + \phi (5^{2000})} = 10^{2000} \cdot k + 2^{2000}$

Portanto os $2000$ últimos dígitos de $2^{2000 + \phi (5^{2000})}$ coincidem com a representação decimal de $2^{2000}$, que tem no máximo $667$ dígitos pois $2^{2000} < (2^3)^{667} < 10^{667}$.

Desta forma, há pelo menos $2000-667=1333$ zeros consecutivos dentre as $2000$ últimas casas decimais de $2^{2000+\phi (5^{2000})}$ e assim $n=\phi (5^{2000}) + 2000 = 4 \cdot 5^{1999} + 2000$ satisfaz as condições do enunciado.