Soluções Matemática - Semana 29

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INICIANTE

Temos \dfrac{x+y}{xy}=1 \Rightarrow x+y=xy \Rightarrow y=x(y-1) \Rightarrow x=\dfrac{y-1+1}{y-1} \Rightarrow x=1+\dfrac{1}{y-1}, portanto y=2 pois mdc(y, (y-1))=1. Logo a solução é (2,2).

INTERMEDIÁRIO

Temos que 2\cdot 10^{k} + 17 \equiv 0 (mod 2017) \Rightarrow 2\cdot 10^{k} + 17 \equiv 2017 (mod 2017) \Rightarrow 10^{k-3} \equiv 1 (mod 2017).
Pois 2000 é invertível módulo 2017. Como mdc (10,2017) = 1 então 10^{\phi (2017) \cdot t} \equiv 1 (mod 2017) para todo t inteiro positivo. Logo basta tomar k= \phi (2017) \cdot t + 3.

AVANÇADO

Sabemos que 2^{\phi (5^{2000})} \equiv 1 (mod 5^{2000}) , portanto existe k inteiro positivo com:

 2^{\phi (5^{2000})} = 5^{2000} \cdot k +1 \Rightarrow 2^{2000 + \phi (5^{2000})} = 10^{2000} \cdot k + 2^{2000}

Portanto os 2000 últimos dígitos de  2^{2000 + \phi (5^{2000})} coincidem com a representação decimal de  2^{2000} , que tem no máximo 667 dígitos pois 2^{2000} < (2^3)^{667} < 10^{667} .

Desta forma, há pelo menos 2000-667=1333 zeros consecutivos dentre as 2000 últimas casas decimais de 2^{2000+\phi (5^{2000})} e assim n=\phi (5^{2000}) + 2000 = 4 \cdot 5^{1999} + 2000 satisfaz as condições do enunciado.

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