Soluções Matemática - Semana 30

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INICIANTE:

É claro que a \ge b. Por absurdo, suponha que a>b. Note que

b(a^2+ab+1) - a(b^2+ab+1) = b-a 

e portanto

b^2+ba+1 | a-b 

Por outro lado,

b^2+ab+1>a-b,

absurdo. Assim, a=b.

INTERMEDIÁRIO:

Seja p um primo \ge3 e diferente de 5. Temos \dfrac{5^{2p-2}-1}{2p} = \dfrac{5^{2(p-1)}-1}{2p} = \dfrac{(5^{p-1}-1)}{p} \cdot \dfrac{(5^{p-1}+1)}{2}. Analisando módulo p, pelo pequeno Teorema de Fermat, 5^{p-1}\equiv 1 \pmod{p} \Rightarrow 5^{p-1} - 1 \equiv 0 \pmod{p} e 5^{p-1} \equiv 1 \pmod{2} \Rightarrow 5^{p-1} + 1 \equiv 0 \pmod{2}. Assim, \dfrac{5^{p-1}-1}{p} é inteiro e \dfrac{5^{p-1}+1}{2} é inteiro \Rightarrow \dfrac{5^{n-2}-1}{n} é inteiro quando n=2p. Como existem infinitos primos p, existem infinitos n que satisfazem a condição do enunciado.

AVANÇADO:


Como nossa desigualdade é homogênea, podemos supor, sem perder a generalidade, que a+b+c=1.

Assim, como f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} é convexa nos reais positivos, temos:

\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}} \ge \dfrac{1}{\sqrt{a^{3}4+b^3+c^3+24abc}}.

Resta então mostrar que a^3+b^3+c^3+24abc \le 1 = (a+b+c)^3, mas isso ocorre, pois é o mesmo que \displaystyle\sum_{sym} a^{2}b \ge \displaystyle\sum_{sym} abc  (verdadeiro por MA-MG, ou Muirhead).
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