Soluções - Matemática

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INICIANTE:

 

Suponha que existem um número finito de números primos e chame o conjunto destes de S = {p_1 , p_2 , p_3 , ... , p_n}, pegue o produtos destes n primos e chame de P = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot ... \cdot p_n. O número P+1 é um número não divisível por nenhum dos primo, portanto é primo, ou seja, absurdo. Logo temos um número infinito de primos.

 

INTERMEDIÁRIO:

 

Pegue um número N tal que:
N \equiv -1 (mod p_1 \cdot p_2)
N \equiv -2 (mod p_3 \cdot p_4)
...
N \equiv -(n+1) (mod p_{2n-1} \cdot p_{2n})
Onde os 2n números primos são distintos dois a dois. Pelo Teorema Chinês dos Restos tal N existe e portanto:
N+1 \equiv 0 (mod p_1 \cdot p_2)
N+2 \equiv 0 (mod p_3 \cdot p_4)
...
N+n+1 \equiv 0 (mod p_{2n-1} \cdot p_{2n})
Portanto temos n números consecutivos que são múltiplos de dois primos distintos, ou seja, não são potência de primo.

AVANÇADO:

Suponha que existe um número finitos destes primos. Sejam p_1 , p_2 , ... , p_n todos os primos da forma 4k+1. Seja:
x = 2 \cdot p_1 \cdot p_2 ... \cdot p_n
Tome q primo tal que q divide x^2+1
x^2 \equiv -1 (mod \ q), como x é par então q ímpar.
(x^2)^{\dfrac{q-1}{2}} \equiv (-1)^{\dfrac{q-1}{2}} (mod \ q)
Como mdc(x,q)=1 então
x^(q-1) \equiv 1 (mod \ q) \Rightarrow (-1)^{\dfrac{q-1}{2}} \equiv 1 (mod \ q) Logo \dfrac{q-1}{2} é par, ou seja, q \equiv 1 (mod 4).
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