Soluções Matemática - Semana 12 (uma mini-aula de potencia de ponto)

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Problema Inciante

pic @

Sejam C e D os pontos de interseção de PO com a circunferência, onde C está entre P e O. Considere também, sem perda de generalidade A entre P e B.

Do quadrilátero ABCD ser inscritível, temos que \angle PAC=\angle PDB e daí os os triângulos PAC e PDB são semelhantes pois têm dois pares de ângulos iguais, o que implica em \dfrac{PA}{PC}=\dfrac{PD}{PB} \Longrightarrow PA\cdot PB=PC\cdot PD. Agora ficou um pouco melhor, pois devemos calcular PC\cdot PD e os dois termo dependem visivelmente de R e PO.

Temos PC=PO-OC=PO-R e PD=PO+OD=PO+R e daí PA\cdot PB=PC\cdot PD=(PO-R)(PO+R)=PO^2-R^2 como queríamos.

O caso para quando o ponto P está dentro da circunferência é extremamente similar, então o deixaremos para você treinar.

 

Problema Intermediário

pic 1

Antes vamos ver um fato sobre... triângulos! Seja ABC um triângulo e D o pé da perpendicular de A ao lado BC. Veja que, por Pitágoras:

AB^2=BD^2+AD^2

AC^2=CD^2+AD^2

Subtraindo as duas equações ficamos com AB^2-AC^2=BD^2-CD^2. Interpretando essa informação de um jeito interessante, vemos que, a diferença entre os quadrados das distâncias de A até B e até C só depende de onde está o pé da perpendicular baixada A à reta BC. Desse modo, se dois pontos X_1,X_2,...,X_n  têm todos a mesma diferença das distâncias ao quadrado até os pontos B e C (seja ela k) então todos pertencem à reta perpendicular ao lado BC que passa pelo ponto X dessa reta tal que BX^2-CX^2=k.

PIC 3

Agora já podemos terminar o problema intermediário, pois, o que significa um ponto ter a mesma potência de ponto em relação a C_1 e a C_2? Significa que, sendo O_1 e O_2 os respectivos centros dessas circunferências e R_1 e R_2 os respectivos raios, o ponto X está no eixo radical se, e somente se, XO_1^2-R_1^2=XO_2^2-R_2^2 \Longrightarrow XO_1^2-XO_2^2=R_1^2-R_2^2=constante. Logo, o lugar geométrico dos pontos com mesma potência de ponto relativa às duas circunferências é a reta perpendicular à reta O_1O_2 e que passa pelo ponto D sobre essa reta que satisfaz O_1D^2-O_2D^2=R_1^2-R_2^2, que é ainda um pouco mais específico do que o que queríamos provar.

 

Problema Avançado

Aqui cabe uma correção: Tal proposição é para o caso em que as três circunferências não têm seus centros colineares.

Talvez esse seja o problema mais rápido, pois é nada mais nada menos do que uma aplicação imediata dos problemas anteriores. Seja D a interseção dos eixos radicais de {C_1,C_2} com {C_2,C_3}. Sabemos que tal interseção é de fato um ponto pois os dois eixos radicais são retas não paralelas (dado que os centros das circunferências não são colineares e que um eixo radical é perpendicular ao seu par de centros).

De D estar no eixo radical de {C_1,C_2}, a potencia de ponto de D relativa a C_1 e C_2 é a mesma (1)

De D estar no eixo radical de {C_2,C_3}, a potencia de ponto de D relativa a C_2 e C_3 é a mesma (2)

De (1)  e (2), a a potencia de ponto de D relativa a C_1 e C_3 é a mesma \Longrightarrow D está no eixo radical de {C_3,C_1} e enfim concluímos que os três eixos radicais concorrem!

 

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