Soluções Física - Semana 28

Iniciante

Sabemos que a velocidade de uma onda se propagando numa corda é dada pela relação de Taylor:

$v=\sqrt[2]{\frac{T}{\mu}}$

O procedimento então é calcular a tração, pois com ela temos a velocidade,e,assim,o tempo gasto no percuso.

O certo a se fazer na questão seria considerar a tração como sendo o peso de corda pendurada mais o peso da massa,contudo,não nos foi informado o quanto da corda estava pendurado,o que deixa a questão confusa,contudo,caso queira,considere a parte pendurada da corda como sendo uma fração $x$ del . Considere a corda com comprimento $L$

Assim:

$T=Peso(Corda\ Pendurada)+Peso(Massa)=Mg+\mu g L x$ (1)

Sabemos também que:

$v=\lambda f$ (2)

Mas, se trata de uma corda com extremidades fixas, assim temos também que o tamanho da corda deve ser um múltiplo inteiro de meios comprimentos de onda.

$n\frac{\lambda}{2}=L' ==>\lambda=\frac{2L'}{n}$

Mas o L que usamos(Perceba que usei L' na equação) é só entre as extremidades, mas já que estamos considerando que uma fração $x$ está pendurada, uma fração $1-x$ está entre as extremidades, então:

$\lambda=\frac{2L(1-x)}{n}$ (3)

Isolando f em (2) e substituindo com as outras equações:

$f=\frac{n\sqrt[2]{Mg+\mu gLx}}{2L(1-x)\sqrt[2]{\mu}}$

Se você considerou a contribuição da corda e o tanto de corda pendurado, você acha:

$f=\sqrt[2]{\frac{Mg}{\mu}}\frac{n}{2L}$

Intermediário

Para resolver essa questão precisamos apenas de um conhecimento básico de efeito Doppler, e precisamos também saber o que é uma faixa de frequências. Uma faixa de frequências é uma região de  frequências que o sistema ocupou, não necessariamente por inteiro.  Mas, pensemos, se pegarmos a maior e menor frequência teremos então a faixa, pois todos valores intermediários estão entre esses dois valores.

No começo do movimento a ambulância está se aproximando de você, ou seja, a frequência pra você parece maior do que a original, então a ambulância passa por você e começa a se afastar, mudando de vez a situação, pois agora a frequência vai parecer menor do que a original.

Sabemos por efeito Doppler que:

$f_{aparente}=f \frac{V_{som}+V_{observador}}{V_{som}-V_{fonte}}$

$V$ é uma velocidade de aproximação, ou seja , $V_{observador}$ é a velocidade do observador na direção em que se aproxima da fonte, e o análogo serve para a fonte. A velocidade do nosso observador é sempre zero, mas a velocidade da fonte aumenta linearmente com o tempo.

A frequência aparente será máxima quando a ambulância tiver máxima velocidade de aproximação, ou seja, quando a ambulância estiver "encostada" no observador. A frequência aparente será mínima quando a velocidade de "afastamento" (Inverso aditivo da velocidade de aproximação) for máxima, ou seja, em $+x_{o}$,pois quando a ambulância atravessa você ela começa a continuamente começa a se afastar mais rápido e assim emitir frequências cada vez menores para você, e o mais distante possível para você escutar é em  $x_{o}$,pois a partir daí a intensidade do som é abaixo do perceptível ao ser humano.

Agora, com a parte conceitual já discutida, calculemos as frequências máxima e mínima.

Máxima:

No momento em que sua frequência for máxima, a ambulância estará "encostada" no observador. Vamos calcular sua velocidade nesse ponto usando Torricelli.

$v^2=v_{o}^2+2a\Delta x$

$v^2=2ax_{o} --> v=\sqrt[2]{2ax_{o}}$

Mínima:

No momento em que sua frequência for mínima a ambulância estará o mais distante possível para ser escutada, ou seja $x_{o}$

$v^2=v_{o}^2+2a\Delta x=2a[x_{o}-(-x_{o})]=4ax_{o}$

$v=2\sqrt[2]{ax_{o}}$

Ou seja:

$f_{maxima}=f \frac{v_{s}}{v_{s}-\sqrt[2]{2ax_{o}}}$

$f_{minima}=f \frac{v_{s}}{v_{s}-(-2 \sqrt[2]{ax_{o}}}=f \frac{v_{s}}{v_{s}+2 \sqrt[2]{ax_{o}}}$

e a largura de frequência é:

$\Delta f=f_{maxima}-f_{minima}=\frac{(\sqrt[2]{2}+1)\sqrt[2]{2ax_{o}}v_{s}}{(v_{s}-\sqrt[2]{2ax_{o}})(v_{s}+2 \sqrt[2]{ax_{o}})}$

Avançado

A função de onda do sistema pode ser expandida como a superposição da função de vários estados estacionários:

$\psi=\sum_{n=0}^\infty c_{n}\psi_{n}$

Em que $\psi_{n}$ é a função de onda do n-ésimo estado estacionário,e $c_{n}$ é um coeficiente de normalização.

Multiplicando dos dois lados por $\psi_{m}$ e integrando em x temos:

$\int_{-\infty}^{+\infty} \psi \psi_{m} dx=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n} \int_{-\infty}^{+\infty} \psi_{m}\psi_{n}$

Pela condição de normalização temos que:

$\int_{-\infty}^{+\infty} \psi_{n}^2 dx=1$

E pela de ortogonalidade:

$\int_{-\infty}^{+\infty} \psi_{n} \psi_{m}=0$ (m diferente de n)

E essas duas condições podem ser resumidas como:

$\int_{-\infty}^{+\infty} \psi_{n} \psi_{m}=\delta^{i}_{j}$

Em que $\delta_{j}^{i}$ é a Delta de Kronecker.

A probabilidade de encontrar a partícula no estado n é a integral da componente n da função de onda no espaço, nesse caso:

$P_{n}=\int_{-\infty}^{+\infty} c_{n}^2 \psi_{n} ^2=c_{n}^2$

Agora basta efetuarmos o cálculo de $c_{0}$,que é o c do estado fundamental do novo oscilador,para isso vamos escolher o instante t=0, pois sabemos a função de onda do sistema nesse instante (É a função de onda do sistema antes da mudança de frequência, pois a função de onda é contínua).

Sabemos que a função de onda do estado fundamental de um oscilador harmônica de frequência $\omega$ é:

$\psi_{o}(x,\omega)=(\frac{m\omega}{\pi \hbar})^{\frac{1}{4}} e^{\frac{-m\omega x^2}{2\hbar}}$

Assim, $c_{0}$ é:

$c_{o}=\int_{-\infty}^{+\infty} \psi_{0}(\omega) \psi_{o}(\eta \omega)dx=\int_{-\infty}^{+\infty} (\frac{m \omega x^2}{\pi \hbar})^{\frac{1}{4}} (\frac{m \eta \omega x^2}{\pi \hbar})^{\frac{1}{4}} e^{-\frac{mx^2(\omega +\eta \omega)}{2 \hbar}}dx$

Sabendo que:

$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-bx^{2}} dx =\sqrt[2]{\frac{\pi}{b}}$

$c_{0}=\frac{2^{\frac{1}{2}} \eta^{\frac{1}{4}}}{(\eta +1)^{\frac{1}{2}}}$

e

$P_{o}=c_{o}^{2}=\frac{2 \eta^{\frac{1}{2}}}{\eta +1}=\frac{2}{\sqrt[2]{\eta}+\frac{1}{\sqrt[2]{\eta}}}$

Esse resultado tem muitas propriedades interessantes, veja que ele é simétrico entre $\eta$ e seu inverso multiplicativo, ou seja, não importa se aumentamos a frequência ou diminuímos ela por um fator, a probabilidade da partícula manter a energia mínima é a mesma, outra propriedade é uma óbvia, que para $\eta=1$ a probabilidade é 100%,se nosso resultado não demonstrasse isso, com certeza estaria errado. Perceba também que nosso resultado é M.G por M.A, ou seja, menor ou igual a um, como qualquer boa probabilidade.