Soluções Matemática - Semana 24

Iniciante

$2x+3y=2014 \Rightarrow 2 \mid y$ . Chame $y=2k$ então temos $2x+6k=2014 \Rightarrow 2014-6k=2x$ onde claramente $x$ é inteiro se variarmos $k$ , logo para todo $k$ vale que $x$ é inteiro e positivo, logo basta achar o número de $k's$ . Vejamos que o menor $k$ é $1$ pois $y>0 \Rightarrow k>0$ e o maior $k$ é $335$ pois $k=336 \Rightarrow 6k=2016>2014$ .

Intermediário

$43^{101}+23^{101} \equiv (-23)^{101}+23^{101} \equiv (-1)^{101} \cdot 23^{101} + 23{101} \equiv -23^{101} + 23^{101} \equiv 0 (mod\ 66)$ .

Avançado

Façamos

$x=a^3$ ,

$y=b^3$ ,

$z=c^3$ . Temos então que

$abc=1$ . Logo, transformando os 1’s dos numeradores e denomindores em abc, nossa desigualdade ﬁca assim:

$\dfrac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\dfrac{y^3}{(1+x)(1+z)}+\dfrac{z^3}{(1+x)(1+y)} \ge \dfrac{3}{4}$

$\dfrac{a^9}{(abc+b^3)(abc+c^3)}+\dfrac{b^9}{(abc+a^3)(abc+c^3)}+\dfrac{c^9}{(abc+a^3)(abc+b^3)} \ge \dfrac{3abc}{4}$

Abrindo e multiplicando por

$2$ , temos:

$\displaystyle\sum_{sym} a^9(abc+a^3)\ge \dfrac{3abc}{4} \displaystyle\sum_{sym} (abc+a^3)(abc+b^3)(abc+c^3) \Rightarrow 4\displaystyle\sum_{sym}a^{12}+a^{10}bc \ge 3a^2b^2c^2 \displaystyle\sum_{sym} (a^2+bc)(b^2+ac)(c^2+ab) \Rightarrow \displaystyle\sum_{sym} 4a^{12} + 4a^{10}bc \ge \displaystyle\sum_{sym} 6a^4b^4c^4 + a^5b^5c^2 + a^6b^3c^3.$

Veja que, por Muirhead:

$\displaystyle\sum_{sym} 4a^{12}bc \ge \displaystyle\sum_{sym} 4a^4b^4c^4$

$\displaystyle\sum_{sym} 2a^{10}bc \ge \displaystyle\sum_{sym} 2a^4b^4c^4$

$\displaystyle\sum_{sym} a^{10}bc \ge \displaystyle\sum_{sym} a^5b^5c^2$

$\displaystyle\sum_{sym} a^{10}bc \ge \displaystyle\sum_{sym} a^6b^3c^3$

Logo, o problema acabou.