Soluções Matemática - Semana 24

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Iniciante

2x+3y=2014 \Rightarrow 2 \mid y. Chame y=2k então temos 2x+6k=2014 \Rightarrow 2014-6k=2x onde claramente x é inteiro se variarmos k, logo para todo k vale que x é inteiro e positivo, logo basta achar o número de k's. Vejamos que o menor k é 1 pois y>0 \Rightarrow k>0 e o maior k é 335 pois k=336 \Rightarrow 6k=2016>2014.

Intermediário

43^{101}+23^{101} \equiv (-23)^{101}+23^{101} \equiv (-1)^{101} \cdot 23^{101} + 23{101} \equiv -23^{101} + 23^{101} \equiv 0 (mod\ 66).

Avançado

Façamos x=a^3,y=b^3,z=c^3. Temos então que abc=1. Logo, transformando os 1’s dos numeradores e denomindores em abc, nossa desigualdade fica assim:
\dfrac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\dfrac{y^3}{(1+x)(1+z)}+\dfrac{z^3}{(1+x)(1+y)} \ge \dfrac{3}{4}
\dfrac{a^9}{(abc+b^3)(abc+c^3)}+\dfrac{b^9}{(abc+a^3)(abc+c^3)}+\dfrac{c^9}{(abc+a^3)(abc+b^3)} \ge \dfrac{3abc}{4}
Abrindo e multiplicando por 2, temos:
\displaystyle\sum_{sym} a^9(abc+a^3)\ge \dfrac{3abc}{4} \displaystyle\sum_{sym} (abc+a^3)(abc+b^3)(abc+c^3) \Rightarrow 4\displaystyle\sum_{sym}a^{12}+a^{10}bc \ge 3a^2b^2c^2 \displaystyle\sum_{sym} (a^2+bc)(b^2+ac)(c^2+ab) \Rightarrow \displaystyle\sum_{sym} 4a^{12} + 4a^{10}bc \ge \displaystyle\sum_{sym} 6a^4b^4c^4 + a^5b^5c^2 + a^6b^3c^3.
Veja que, por Muirhead:
\displaystyle\sum_{sym} 4a^{12}bc \ge \displaystyle\sum_{sym} 4a^4b^4c^4
\displaystyle\sum_{sym} 2a^{10}bc \ge \displaystyle\sum_{sym} 2a^4b^4c^4
\displaystyle\sum_{sym} a^{10}bc \ge \displaystyle\sum_{sym} a^5b^5c^2
\displaystyle\sum_{sym} a^{10}bc \ge \displaystyle\sum_{sym} a^6b^3c^3
Logo, o problema acabou.

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