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Quadriláteros Cíclicos 1

Definição: Um quadrilátero ABCD é ciclico se existe um círculo Γ passando por seus 4 Vértices. Γ é chamado o Circuncírculo de ABCD.

Fato 0: Sejam A,B,C pontos em um circulo de centro O. Então BOC=2BAC.

            Quad Ciclico0

Fato 1: Se ABCD é um quadrilátero cíclico, BAD+DCB=180o.

Prova: Usando o Fato 0:

BAD=BOD2 (o angulo que contem C)

DCB=DOB2 (o angulo que contem A)

BAD+BCD=DOB+BOD2=360o2=180o

OBS: Analogamente, ABC+CDA=180o

Fato 2: Se ABCD é um quadrilátero cíclico, BAD=BCD.Ou seja, os ângulos que "olham" pro mesmo segmento, tem a mesma medida.

Prova: Usando novamente o Fato 0:

BAD=BOD2=BCD

OBS: Analogamente:

ACB=ADBBAD=BCDABD=ACD

Quad Ciclico2

Fato 3: Se ABCD é um quadrilatero qulquer tal que ABC+CDA=180o ou BAD=BCD, então ABCD é um quadrilatero ciclico.

Prova: Mostramos a prova do caso ABC+CDA=180o, já que o outro caso é análogo e deve ser resolvido pelo leitor como um exercício.

Seja Γ o circuncirculo do triângulo ABC, e suponha que D não pertence a Γ. Seja então DD a segunda interseção de CD com Γ. Pelo Lemma 1 sabemos que CDA=180oABC=CDA. Mas então C,D,D estão na mesma reta e ADC=ADC. Logo D=D contradição, pois assumimos DD. Então nossa suposição estava errada e D está de fato em Γ, e está provado o Fato.

Quad Ciclico 3

A primeira vista estes podem parecer fatos banais, mas não é um exagero dizer que conhecimento de quadriláteros ciclicos é parte essencial de 60% de todos problemas de geometria a partir do 9º ano.

Problemas:

  1. Dado um triângulo ABC e Γ seu circuncirculo. Seja H o encontro das alturas relativas aos vértices B e C. Seja H a reflexão de H por BC. Prove que H pertence a Γ.
  2. Dado um triângulo ABC e Γ seu circuncírculo. Dados pontos X sobre AB e Y sobre AC tais que o quadrilátero BCYX é cíclico, prove que AOXY (esse simbolo representa perpendicularidade), onde O é o centro de Γ.
  3. Dado um triângulo ABC e AD,BE,CF suas alturas, e H o encontro das 3 (o ortocentro de ABC). Prove que os seguintes quadriláteros são cíclicos:
    1. BCEF,CAFD e ABDE.
    2. AFHE,BDHF e CEHD.
    3. Encontre os centros dos quadriláteros acima.