Definição: Um quadrilátero ABCD é ciclico se existe um círculo Γ passando por seus 4 Vértices. Γ é chamado o Circuncírculo de ABCD.
Fato 0: Sejam A,B,C pontos em um circulo de centro O. Então ∠BOC=2⋅∠BAC.
Fato 1: Se ABCD é um quadrilátero cíclico, ∠BAD+∠DCB=180o.
Prova: Usando o Fato 0:
∠BAD=∠BOD2 (o angulo que contem C)
∠DCB=∠DOB2 (o angulo que contem A)
∠BAD+∠BCD=∠DOB+∠BOD2=360o2=180o
OBS: Analogamente, ∠ABC+∠CDA=180o
Fato 2: Se ABCD é um quadrilátero cíclico, ∠BAD=∠BCD.Ou seja, os ângulos que "olham" pro mesmo segmento, tem a mesma medida.
Prova: Usando novamente o Fato 0:
∠BAD=∠BOD2=∠BCD
OBS: Analogamente:
∠ACB=∠ADB∠BAD=∠BCD∠ABD=∠ACD
Fato 3: Se ABCD é um quadrilatero qulquer tal que ∠ABC+∠CDA=180o ou ∠BAD=∠BCD, então ABCD é um quadrilatero ciclico.
Prova: Mostramos a prova do caso ∠ABC+∠CDA=180o, já que o outro caso é análogo e deve ser resolvido pelo leitor como um exercício.
Seja Γ o circuncirculo do triângulo ABC, e suponha que D não pertence a Γ. Seja então D′≠D a segunda interseção de CD com Γ. Pelo Lemma 1 sabemos que ∠CD′A=180o−∠ABC=∠CDA. Mas então C,D,D′ estão na mesma reta e ∠ADC=∠AD′C. Logo D′=D→ contradição, pois assumimos D≠D′. Então nossa suposição estava errada e D está de fato em Γ, e está provado o Fato.
A primeira vista estes podem parecer fatos banais, mas não é um exagero dizer que conhecimento de quadriláteros ciclicos é parte essencial de 60% de todos problemas de geometria a partir do 9º ano.
Problemas:
- Dado um triângulo ABC e Γ seu circuncirculo. Seja H o encontro das alturas relativas aos vértices B e C. Seja H′ a reflexão de H por BC. Prove que H′ pertence a Γ.
- Dado um triângulo ABC e Γ seu circuncírculo. Dados pontos X sobre AB e Y sobre AC tais que o quadrilátero BCYX é cíclico, prove que AO⊥XY (esse simbolo representa perpendicularidade), onde O é o centro de Γ.
- Dado um triângulo ABC e AD,BE,CF suas alturas, e H o encontro das 3 (o ortocentro de ABC). Prove que os seguintes quadriláteros são cíclicos:
- BCEF,CAFD e ABDE.
- AFHE,BDHF e CEHD.
- Encontre os centros dos quadriláteros acima.