Semana 43 (26 de março de 2019)

Iniciante

Sabendo que amizade é uma relação mútua (isto é, se Ana é amiga de Beatriz, então Beatriz também é amiga de Ana),

Prove que em qualquer festa com $10001$ pessoas existe uma pessoa nessa festa que possui um número par de amigos (que estão nessa festa).

Intermediário

Seja $n$ um inteiro positivo. Num tabuleiro $n \text{x} n$ marcamos $k$ casas, de modo que não haja três casas marcadas cujos centros sejam vértices de um triângulo retângulo. Determine o maior valor possível de $k$.

Avançado

Seja $ABC$ um triângulo escaleno com baricentro $G$. A circunferência de raio $GB$ e centro $G$ corta $AC$ em $E,F$. O circuncírculo de $GEF$ corta as retas $BE,BF$ em $E,P$ e $F,Q$ respectivamente. Prove que $PQ$ passa pelo ponto médio de $AC$.