Iniciante
Temos
![2019](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_ea6b2efbdd4255a9f1b3bbc6399b58f4.gif?w=640&ssl=1)
bolinhas ao redor de uma grande circunferência. Algumas delas são azuis e todas as outras são vermelhas. Prove que sempre há duas bolinhas consecutivas que possuem a mesma cor.
Intermediário
Definimos um T-quadriminó como uma peça formada por
![4](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.gif?w=640&ssl=1)
quadradinhos em forma de T. Prove que não é possível cobrir completamente e sem sobreposições um tabuleiro
![10x10](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_3f2da6a6dc6feb9a850d0709b6d94ae0.gif?w=640&ssl=1)
com T-quadriminós.
Avançado
Determine todas as funções
![f](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif?w=640&ssl=1)
dos reais positivos nos reais positivos satisfazendo para todos
![x](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif?w=640&ssl=1)
reais positivos as duas seguintes equações:
![(1) f(f(x))=2x-f(x)](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_62965b7e8121f90cbd296055fb60f5f8.gif?w=640&ssl=1)
![(2) f^{(2019)}(x)=x](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_e6510a3088c64b8f7f71781c984bbc98.gif?w=640&ssl=1)
onde
![f^{(2019)}(x)=f(f(...f(x)...))](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_72f871c3ce20ccede9faaefc0f84220d.gif?w=640&ssl=1)
, ou seja,
![f](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif?w=640&ssl=1)
aplicada
![2019](https://i0.wp.com/noic.com.br/wp-content/plugins/latex/cache/tex_ea6b2efbdd4255a9f1b3bbc6399b58f4.gif?w=640&ssl=1)
vezes.