Semana 45 (16 de abril de 2019)

Iniciante

Temos $2019$ bolinhas ao redor de uma grande circunferência. Algumas delas são azuis e todas as outras são vermelhas. Prove que sempre há duas bolinhas consecutivas que possuem a mesma cor.

Intermediário

Definimos um T-quadriminó como uma peça formada por $4$ quadradinhos em forma de T. Prove que não é possível cobrir completamente e sem sobreposições um tabuleiro $10x10$ com T-quadriminós.

Avançado

Determine todas as funções $f$ dos reais positivos nos reais positivos satisfazendo para todos $x$ reais positivos as duas seguintes equações:

$(1) f(f(x))=2x-f(x)$

$(2) f^{(2019)}(x)=x$

onde $f^{(2019)}(x)=f(f(...f(x)...))$, ou seja, $f$ aplicada $2019$ vezes.