Simulado C1

Tempo: 4:30

Cada problema vale 7 pontos

Problema 1. Seja $H$ o ortocentro de um triângulo $ABC$. Sejam $M,N$ os pontos médios de $AB,AC$ respectivamente. Assuma que $H$ está dentro do quadrilátero $BMNC$ e que os circuncírculos de $BMH$ e $CNH$ são tangentes um ao outro. A reta por $H$ paralela a $BC$ corta $(BMH)$ em $K$ e $(CNH)$ em $L$. Seja $F$ o encontro de $MK$ e $ML$, e seja $J$ o incentro de $MHN$. Prove que $FJ=FA$.

 

Problema 2. Sejam $n,k$ inteiros positivos. São dados $n$ círculos no plano de modo que quaisquer dois círculos se intersectam em dois pontos distintos e não há três círculos concorrentes. Cada ponto de intersecção deve ser colorido com uma dentre $n$ cores distintas de modo que cada cor seja usada pelo menos uma vez e que exatamente $k$ cores ocorram em cada círculo. Ache todos os pares de valores $n,k$ com $n \ge 2$ tais que essa coloração é possível.

 

Problema 3. Ache todas as funções $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tais que para todos os reais $x,y$ vale a equação:

$f(xf(x+y))=f(yf(x))+x^2$