Soluções Astronomia - Semana 10

Iniciante

$\frac{GMm}{R^{2}}=\frac{GM_{P}m}{R_{P}^{2}}$
$\frac{M}{R^{2}}=\frac{M_{P}}{R^{2}}$
$M=\frac{R^{2} \cdot 10^{18}}{6}$

Intermediário

Para isso usaremos a igualdade:
$\frac{L}{4 \pi R^{2}}=\sigma T^{4}$
Agora, para achar a razão entre as luminosidades faremos a diferença de magnitudes:
$5+26,72=2,5 log (\frac{L_{S}}{L_{E}}) + 5 log (105 \cdot 206265)$
$\frac{L_{S}}{L_{E}} \approx 10^{-2}$
Por fim, igualando as constantes na primeira igualdade:
$\frac{L_{S}}{T_{S}^{4}R_{S}^{2}}=\frac{L_{E}}{T^{4}R^{2}}$
Daí, resolvendo a matemática:
$R = R_{S} \cdot 2,25 \cdot 10^{7}$

Avançado

Usando a equação da força gravitacional para uma massa constante:
$m \ddot{r} = \frac{-GMm}{r^{2}}$
$M(r) = \frac{4 \pi \rho r^{3}}{3}$
$\ddot{r} = \frac{-4G \rho \pi r}{3}$
$\rho(t) R^{3}(t) = \rho_{0} R_{0}^{3}$
$\ddot{R} = \frac{-4 \pi G \rho_{0} R_{0}^{3}}{3R^{2}}$
$\ddot{R} \dot{R} + \frac{4 \pi G \rho_{0} R_{0}^{3} \dot{R}}{3R^{2}}$
Sabendo que
$\frac{d(\dot{R^{2}})}{dt} = 2 \ddot{R} \dot{R}$
Temos:
$\frac{d}{dt}(\dot{R^{2}}-\frac{8 \pi G \rho_{0} R_{0}^{3} \dot{R}}{3R})=0$
$\dot{R^{2}}=k + \frac{8 \pi G \rho_{0} R_{0}^{3} \dot{R}}{3R}$
Com k=0, substituindo a densidade
$\frac{\dot{R^{2}}}{2} = \frac{GM}{R}$