Soluções Astronomia - Semana 24

Iniciante

Sabendo que é necessário $v_{p}$ para a posição polar e $v_{e}$ para a posição equatorial, temos:
$\frac{E_{p}}{E_{e}} = \frac{v_{p}^{2}}{v_{e}^{2}}$
Daí é necessário apenas calcular as velocidades. Sabendo que na posição equatorial a velocidade necessária é menor em 0,5 km/s graças à velocidade de rotação da Terra, temos:
$v_{p}^{2} = gR$
Portanto:
$v_{p} = 7,9 km/s$ e $v_{e} = 7,4 km/s$
Daí
$\frac{E_{p}}{E_{e}} = 1,14$

Intermediário

$L_{Sol} = 3,86 \cdot 10^{26} W$
Sabe-se que para a liberação de 1 neutrino, é necessária uma energia de:
$E = 4,28 \cdot 10^{-12} J$
Portanto a cada segundo há a liberação, para todas as direções, de:
$n = \frac{3,86 \cdot 10^{26}}{4,28 \cdot 10^{-12}}$
$n = 9 \cdot 10^{37}$
Daí, sabendo que o ângulo sólido correspondente à Terra é
$\Omega = \frac{\pi R^{2}}{(1 U.A.)^{2}} = 5,64 \cdot 10^{-9} sr$
Temos:
$\frac{4 \pi}{5,64 \cdot 10^{-9}} = \frac{9 \cdot 10^{37}}{\nu}$
$\nu = 4 \cdot 10^{28} neutrinos/s$

Avançado

Conservando o momento linear, usando que o ganho de velocidade é dv, que o ganho de massa é dm (com dm negativo porque o foguete perde massa) e que a velocidade do combustível expelido é v-u, onde u é a velocidade relativa entre o combustível expelido e o foguete:
$mv = (m + dm)(v +dv) + (-dm)(v - u)$
Expandindo a equação temos:
$\not{mv} = \not{mv} + \not{vdm} + \not{dmdv} + mdv - \not{vdm} +udm$
$mdv = -udm$
$\int_{v_{0}}^{v_{f}}v = -u \int_{M}^{M_{f}}\frac{dm}{m}$
$v_{f} - v_{0} = -uln(\frac{M}{M_{f}}) = -uln(\frac{M}{M-kt})$