SOLUÇÕES ASTRONOMIA - SEMANA 28

SOLUÇÕES ASTRONOMIA - SEMANA 28

Iniciante

Como a luz solar incide apenas sobre uma das faces do cubo, temos que a energia absorvida por segundo é: $\Phi=Ia$. Sabemos também que, na mudança de estado, a energia total absorvida é igual a: $\Delta mL$. Então:

$\Phi \Delta t = \Delta mL$

$Ia\Delta t=\Delta mL$

$\frac{\Delta m}{\Delta t}=\frac{Ia}{L}$

Intermediário

A todo momento o fluxo de energia em um planeta pode ser descrito como

$L_{incidente}=L_{refletido}+L_{absorvido}$.

$L_{refletido}=AL_{incidente}$

$(1-A)L_{incidente}=L_{absorvido}$.

Como o planeta está proporcionalmente muito longe da estrela, a luminosidade incidente pode ser dada por:

$L_{incidente}=I_{sol}a_{planeta}$

$L_{incidente}=(\frac{L}{4\pi r^2})(\pi R_{planeta}^2)$

$L_{incidente}=\frac{LR^2}{4r^2}$

Para o caso em que o corpo está em equilíbrio térmico

$L_{absorvido}=L_{emitido}=4\pi R^2\sigma T^4$.

$(1-A) \frac{LR^2}{4r^2}=4\pi R^2\sigma T^4$.

$T=\sqrt[4]{\frac{L(1-A)}{16\pi \sigma r^2}}$

Avançado

(a) Similar ao exercício anterior:

$L_{inc}=L_{ref}+L_{abs}$

$L_{inc}=I_{sol}a=\frac{L}{4\pi r_{T}^2}a$

$L_{ref}=AL_{inc}$

$P=\eta L_{abs}$

Substituindo na 1ª equação:

$\frac{L}{4\pi r_{T}^2}a_m(1-A)=\frac{P}{\eta}$

$a_m=\frac{4\pi r_{T}^2P}{L\eta (1-A)}$

(b) No equilíbrio térmico:

$L_{abs}=L_{emit}$

$\frac{L}{4\pi r_{T}^2}a(1-A)=a_e\sigma T^4$

$a_e=a\frac{L}{4\pi r_{T}^2} \frac{(1-A)}{\sigma T^4}$

Substituindo $a=a_m$

$a_{em}=\frac{P}{\eta \sigma T^4}$

(c) Imagine duas circunferências concêntricas. A interna representa a Terra e a externa, a órbita do satélite. Se usarmos duas retas paralelas e tangentes à circunferência da Terra para representar sua sombra, temos:

$(R+H)sen(\frac{\gamma}{2})=R$

$\frac{\gamma}{2\pi}=\frac{\Delta t}{\tau}$

Sendo $\gamma$ o ângulo do arco da órbita que está na sombra e $\tau$ o período da órbita.

$\frac{(R+H)^3}{\tau ^2}=\frac{GM_T}{4\pi ^2}$

$\tau =2\pi \sqrt{\frac{(R+H)^3}{GM_T}}$

$\Delta t =\gamma \sqrt{\frac{(R+H)^3}{GM_T}}$

$\Delta t =\sqrt{\frac{(R+H)^3}{GM_T}}*2arcsen(\frac{R}{R+H})$

Para achar a temperatura mínima, lembre que:

$L_{emit}=\frac{dE}{dt}=a_{e}\sigma T_{(t)}^4$

$dE=CdT_{(t)}$

Sendo que a 1ª equação relaciona a irradiação de energia térmica com a temperatura e a 2ª relaciona a variação de energia com a variação de temperatura do satélite

$C\frac{dT_{(t)}}{T_{(t)}^4}=a_{e}\sigma dt$

Sabendo a fórmula básica de integral:

$\int ax^{n}dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}$

$\int CT_{(t)}^{-4}dT_{(t)}=-\frac{C}{3}T_{(t)}^{-3}$

$\int a_{e}\sigma dt=a_{e}\sigma t$

$-\frac{C}{3}(\frac{1}{T_f^3}-\frac{1}{T^3})=a_{e}\sigma \Delta t$

$T_{f}=(\frac{1}{T^3}-\frac{3a_{e}\sigma}{C}\Delta t)^{-\frac{1}{3}}$