SOLUÇÕES ASTRONOMIA - SEMANA 37

INICIANTE

O lugar mais óbvio que Giulia pode se encontrar é no pólo norte, como mostrado na imagem abaixo. Mas também há infinitos pontos que se encontram uma hora ao norte do paralelo cuja circunferência leva uma hora para ser percorrida.

INTERMEDIÁRIO

Começamos listando as informações dadas do enunciado

distância inicial Terra-cometa: $r_{tc0}=1 UA$

distância Terra-Sol: $r_{st}=1 UA$

distância Sol-cometa: $r_{sc} \approx r_{st}+r_{tc}$

magnitude aparente do cometa: $m_{0}=3$, $m_{1}=2.8$

intervalo de tempo: $\Delta t=1 dia$

Por relações de fluxo, podemos equacionar:

$\frac{F_0}{F_1}=10^{-\frac{2}{5}(m_0-m_1)}$

$F=\frac{L}{4\pi r_{tc}^2}$

$L=F_S \pi R^2$ ($R$ - raio do cometa)

$F_S=\frac{L_S}{4\pi r_{sc}}$

então:

$F=\frac{L_S}{\pi}(\frac{R}{4 r_{sc} r_{tc}})^2$

$\frac{F_0}{F_1}=(\frac{r_{tc1}}{r_{tc0}})=10^{-\frac{2}{5}(m_0-m_1)}$

$r_{tc1}=r_{tc0}10^{\frac{m_1-m_0}{5}}$

Pela fórmula de velocidade média:

$v=\frac{\Delta r}{\Delta t}=\frac{r_{tc1}-r_{tc0}}{\Delta t}$

$v=\frac{r_{tc0}}{\Delta t}(10^{\frac{m_1-m_0}{5}} -1)$

$v=-153 km/s$

AVANÇADO

De forma simplificada, a órbita que gasta menos energia para transferir entre órbitas é a órbita de transferência de Hohmann, a qual consiste de uma elipse que tangencia as outras órbitas em seu periastro e apoastro.

Dados:

massa do sol: $M=2*10^{30}kg$

raio orbital da Terra: $r_T=1 UA$

raio orbital de Júpter: $r_J=5,2 UA$

velocidade em órbita elíptica: $v=\sqrt{GM(\frac{2}{r}-\frac{1}{a})}$

velocidade em órbita circular: $v=\sqrt{\frac{GM}{a}}$

semi eixo maior da órbita de transferência: $a=\frac{r_T+r_J}{2}$

Substituindo para encontrarmos o Delta V:

$\Delta v=\Delta v_J + \Delta v_T$

$\Delta v_J=v_a - v_J=v=\sqrt{GM(\frac{2}{r_J}-\frac{1}{a})}-\sqrt{\frac{GM}{r_J}}=5.65km/s$

$\Delta v_T=v_T-v_p=\sqrt{\frac{GM}{r_T}}-\sqrt{GM(\frac{2}{r_T}-\frac{1}{a})}=8.80km/s$

$\Delta v=14.45km/s$