Soluções Física - Semana 26

Iniciante

a)Geralmente se estima o erro de um instrumento manual como sendo metade da sua graduação.Isso faz sentido,pense,quando você mede algo com uma régua você consegue identificar o menor número inteiro de graduações,mas entre uma graduação e outra já fica algo meio incerto.Daí,estima-se que você não vai fugir de metade da graduação na sua medida.

$\sigma_{l}=\frac{G}{2}=0,05 cm$ (G é a gradação)

b)Já que o cronômetro tem seu último digito em centésimos de segundos,se perde o sentido em falar da incerteza dele,não é isso que vai acabar ou não com sua medida,mas o seu tempo de reação.O tempo de reação humano é estimado como cerca de $0,3 s$.Sendo essa nossa incerteza

$\sigma_{t}=0,3s$

c)Para responder isso precisamos pensar nos parâmetros relevantes que podem afetar nosso problema:

Lei de Hooke:

-Efeitos estranhos da mola para pequenas forças

-Resistência do ar

-Incerteza da régua

-A mola nunca para de oscilar 100%,a medição do x de equilíbrio se torna complicada devido a isso

Oscilador Massa-Mola:

-Discrepância do período para amplitudes grandes

-Resistência do ar

-Tempo de reação humana

-Efeitos da massa da mola na oscilação

-Pertubações transversais ao movimento (Se o oscilador "balançar" para a esquerda e a direita,começarão a aparecer efeitos graças a força centrífuga)

Com isso,vemos que a lei de Hooke tem tudo para ser um experimento mais preciso,logo vamos toma-lá como nosso,provavelmente,mais preciso experimento.

Intermediário

Vamos começar nossa solução lembrando de algumas regras.Primeiro de tudo,quando temos uma medida de uma grandeza física,e nossa incerteza sobre ela é estimada,devemos fazer nosso valor médio ser um múltiplo da incerteza.

Por exemplo:

$x=0,40 \pm 0.06$

É na verdade:

$x=0,42 \pm 0.06$

Pois devemos arredondar a média pra o múltiplo mais próximo da incerteza.

Assim,corrigindo nossas medidas pra $\Delta x$:

$\Delta x_{1}=(1,00 \pm 0,05)cm$

$\Delta x_{2}=(1,95 \pm 0,05)cm$

$\Delta x_{3}=(2,95 \pm 0,05)cm$

$\Delta x_{4}=(4,00 \pm 0,05)cm$

$\Delta x_{5}=(5,00 \pm 0,05)cm$

$\Delta x_{6}=(5,90 \pm 0,05)cm$

$\Delta x_{7}=(7,00 \pm 0,05) cm$

$\Delta x_{8}=(7,90 \pm 0,05)cm$

$\Delta x_{9}=(8,90 \pm 0,05)cm$

$\Delta x_{10}=(9,90 \pm 0,05)cm$

Temos agora duas abordagens para esse problema:

1-Método dos mínimos quadrados:

Um método extremamente preciso que usa de resultados da teoria de erros e da sua habilidade na calculadora

2-Método Por gráfico:

Você desenha um gráfico (y X x) de suas variáveis,e desenha uma reta que você ache que melhor se ajuste aos dados experimentais.Há várias maneiras de achar a melhor reta.

Faremos aqui pelos método dos mínimos quadrados.

Método dos mínimos quadrados:

Leia o começo da questão avançada,até a parte que é lhe solicitado parar,lá ensinarei o mínimo que se precisa para continuar.

Continuando:

Vamos definir quem será nosso y e nosso x.

Sabemos que:

$\Delta{x}=\frac{mg}{k}$

Vamos chamar mg de x e $\Delta x$ de y (Não confunda \Delta x com x.....),assim conseguimos a reta:

$y=\frac{x}{k}=Bx+A$

Contudo,nossas medidas pra m e pra g são incertas,logo devemos saber a incerteza de um produto se quisermos a incerteza para x.

$\sigma_{g.u}=\sqrt[2]{(\sigma_{g} u)^2+(\sigma_{u} g)^2}$ (Não confunda $\sigma_{g.u}$(Incerteza do produto g.u) com $\sigma_{gu}$)

A equação acima é dada nas provas geralmente,a dedução envolve cálculo.

Nós encontramos todos valores para y ($\Delta x$) com suas respectivas incertezas,achemos agora para x,perceba que ela não será constante,pois ela é dada por:

$\sigma_{mg}=\sqrt[2]{(\sigma_{g} m)^2+(\sigma_{m} g)^2}$

Ela varia com a massa,logo cada x terá uma incerteza associada:

$x_{1}=(mg)_{1}=(4,95 \pm 0,03)N$

$x_{2}=(9,85 \pm 0,05)N$

$x_{3}=(14,80 \pm 0,08)N$

$x_{4}=(19,70 \pm 0,10)N$

$x_{5}=(24,70 \pm 0,13)N$

$x_{6}=(29,55 \pm 0,15)N$

$x_{7}=(34,6 \pm 0,2)N$

$x_{8}=(39,4 \pm 0,2)N$

$x_{9}=(44,4 \pm 0,2)N$

$x_{10}=(49,4 \pm 0,2)N$

Agora só resta plotar todos x e y na calculadora e achar os dados,comecemos com o $\epsilon$:

$\epsilon=0,034306032 cm$

$\sigma_{B}=\frac{\epsilon}{\sigma_{x}\sqrt[2]{N}}=8.10^\left(-4\right) \frac{cm}{N}$

$B=B_{0} \pm \sigma_{B}=(0.2008 \pm 0.0008)\frac{cm}{N}$

Contudo,para acabar com o problema estamos interessados em $\frac{1}{B}$,que é a constante elástica da nossa mola,e obviamente,na sua incerteza.A incerteza dessa grandeza é bem interessante.

Sabemos que a incerteza de uma divisão $(f=\frac{g}{u})$ é:

$\sigma_{f}=\sqrt[2]{(\frac{\sigma_{g}}{u})^2+(\frac{g\sigma_{u}}{u^2})^2}$

Se $g=1$ $(\sigma_{g}=0)$:

$\sigma_{f}=\frac{\sigma_{u}}{u^2}$

Assim,para k:

$\sigma_{k}=\frac{\sigma_{B}}{B^2}=0.02 \frac{N}{cm}=2 \frac{N}{m}$

$k=k_{o} \pm \sigma_{k}=(498 \pm 2) \frac{N}{m}$

Como esperado,o k por lei de hooke é mais preciso.A constante elástica da mola é na realidade 500 N/m.O nosso resultado é compatível,o que significa compatível?Uma grandeza é compatível com outra se uma é valor possível da outra.Nosso k tem valores possíveis entre 496 e 500.Duas grandezas são compatíveis se elas tem ao menos um valor possível em comum.É fácil ver que k é compatível com a constante real da mola,pois ele chega até 500.

Avançado

(Leitura também do intermediário)Para começarmos a análise é importante começar deixando claro a existência de algumas fórmulas (Muitas delas estão nas provas experimentais aplicadas pela SBF)

$\epsilon=\sqrt[2]{\frac{\sum_{1} ^N (y_{i}-A-Bx_{i})^2}{N-2}}$

$\sigma_{B}=\frac{\epsilon}{\sigma_{x}\sqrt[2]{N}}$

$\sigma_{A}=\sqrt[2]{<x^2>}\sigma_{B}$

$B=\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x} ^2}$

$A=<y>-B<x>$

Onde $<g>$,sendo g uma variável genérica,é o valor médio de g.

$<g>=\frac{\sum_{1} ^N (g_{i})}{N}$ (Definição 1)

$g_{i}$ é o i-ésimo valor medido de g

$\sigma_{g}$ representa o desvio padrão da variável g (que será usado nesse problema como incerteza de uma medida),ele é definido como:

$\sigma_{g}^2=\frac{\sum_{1}^N (g_{i}-<g>)^2}{N}$ (Definição 2)

Vamos desenvolver essa função para reescreve-lá de maneira mais inteligente:

$\sigma_{g}^2=\frac{\sum_{1}^N(g_{i} ^2 -2g_{i} <g>+<g>^2)}{N}$

$\sigma_{g}^2=\frac{\sum_{1}^N g_{i}^2}{N} -\frac{2\sum_{1}^N g_{i}<g>}{N}+\frac{\sum_{1}^N <g>^2}{N}$

Usando a definição 1:

$\sigma_{g}^2=<g^2>-2<g>\frac{\sum_{1}^N (g_{i})}{N}+\frac{N <g>^2}{N}$

$\sigma_{g}^2=<g^2>-<g>^2$

Assim,extende-se a definição 2 para:

$\sigma_{xy}=<xy>-<x><y>$

Deixando claro tudo que usaremos,podemos começar a análise de erros.

Primeiro,vamos encontrar A e B não corrigidos pela calculadora (A e B vão ser lhe dados com um número grande de significativos,geralmente,o que você provavelmente não terá..),lhe darei a instrução para fazer isso numa Casio fx-82ms,mas geralmente isso funciona em qualquer calculadora.Para começar,aperte o botão CLR e selecione 3 (All),aparecerá na tela RESET ALL,significa que se houvesse qualquer dado plotado antes nela,agora estão apagados,assim podemos colocar os nossos sem medo de ter algum erro graças aos antigos.Aperte o botão MODE,aperte 3 (REG),e selecione 1(Lin).

Feito isso,vamos construir uma função f(x) linear.$(f(x)=y=A+Bx)$.Você deve fazer o seguinte procedimento para plotar dados:

1-Escreva seu valor de x

2-Aperte ,

3-Coloque seu valor de y

4-Aperte M+

5-Seu dado está plotado

Faça isso para todos e você terá pela calculadora o valor de A e B que melhor se ajustam pra esses pontos experimentais.

E como você faz para a calculadora lhe dar?

Aperte S-Var (Em cima do 2),você terá então uma lista de variáveis que você pode pedir,mova com o curso da calculadora duas vezes para direita e você terá para a correspondente tecla:

$1-A$

$2-B$

$3-r$

r é uma medida de o quanto sua reta está ajustada aos pontos experimentais,ela vai de 0 a 1,quanto mais próximo de 1,mais preciso.

(Aqui acaba a parte que também é leitura do intermediário)

 

Se não ficou claro quem será seu y e x,veja:

$T=2\pi \sqrt[2]{\frac{m}{k}}$

$T^2=\frac{4\pi^2 m}{k}$

A última equação é linear em m,o que está variando no experimento,logo é inteligente fazer y ser $T^2$ e x ser $m$,contudo essa equação fica mais correta se colocarmos a massa da mola na jogada,a correção se dá por:

$T^2=\frac{4\pi^2 (m+\frac{M}{3})}{k}=\frac{4\pi^2}{k} m+\frac{4\pi^2 M}{3k}$ (M é a massa da mola)

$T^2=y=A+Bx$

Comparando as duas:

$B=\frac{4\pi^2}{k}$

$A=\frac{4\pi^2 M}{3k}$

Agora vamos começar a achar os números,comecemos pelo $\epsilon$,para achar o epsilon use o A e B que a calculadora lhe dá,não se importando ainda com o número correto de algarismos significativos.

$\epsilon=7,233759239. 10^\left(-3\right)   s^2$

Assim:

$\sigma_{B}=\frac{\epsilon}{\sigma_{x}\sqrt[2]{N}}=0.0016 \frac{m}{N}$

$\sigma_{A}=\sqrt[2]{<x^2>}\sigma_{b}=0.005 s^2$

$B=B_{o} \pm \sigma_{B}=0.0800\pm 0.0016=(8,00 \pm 0,16).10^(-2) \frac{m}{N}$

$A=A_{o} \pm \sigma_{A}=(-1.2 \pm 5).10^(-3) s^2$

Agora vamos achar nosso k e M.

$k=\frac{4\pi^2}{B}$

É dado nos materias de teoria dos erros que a incerteza numa divisão ($f=\frac{g}{u}$) é:

$\sigma_{f}=\sqrt[2]{(\frac{\sigma_{g}}{u})^2+(\frac{\sigma_{u}.g}{u^2})^2}$

Na nossa expressão pra k,$(4\pi^2)$ é só um número,com incerteza zero então (não é uma medida ou algo do gênero...).

Logo:

$\sigma_{k}=\frac{4\pi^2 \sigma_{B}}{B^2}=10 \frac{N}{m}$

$k=k_{o} \pm \sigma_{k}=(493 \pm 10) \frac{N}{m}$ ( Nossa incerteza pode ter 2 dígitos,pois ela começa com 1,uma exceção à regra)

Agora,para M precisaremos conhecer a incerteza de um produto,pois:

$M=\frac{3kA}{4\pi^2}$

E sabemos que k e A são medidas com incerteza,logo usaremos outra expressão:

$\sigma_{g.u}=\sqrt[2]{\sigma_{g} ^2 u^2 +\sigma_{u} ^2 g^2}$

$\sigma_{M}=0,19 kg$

$M=(-0.05 \pm 0.19)kg$

A massa não faz sentido pois,seu valor mais provável é negativo e a incerteza dela é maior do que o valor mais provável.Quando achamos algo assim é razoável falar que essa coisa na verdade é zero.Assim,achamos que a mola tem massa tão próxima de zero,que é praticamente zero.E nosso equipamento não tem capacidade de medir-lá.(Isso aconteceu porque o que ia nos dar a massa era o desvio do caso de massa nula,se tivermos uma massa nula de mola achariamos A=0,a massa ser não nula ia criar um erro sistemático que ia gerar um A,e com esse A iamos encontrar a massa da mola,contudo os erros aleatórios foram de magnitude tão elevada que apagaram a informação gerada pelo erro sistemático da massa,esse que pra ser tão fraco deve ter vindo de uma massa muito pequena)