Soluções Física - Semana 29

Iniciante

O mecanismo para se observar algo consiste em alguns passos,basicamente haverá um cruzamento de raios luminosos que irão chegar em seus olhos e criar uma imagem na retina, e com isso seu cérebro recebe a informação e codifica pra você ver o que você vê. Esses raios luminosos vem do objeto observado, no caso de uma parede, por exemplo, os raios de luz chegam na parede, refletem, chegam em seus olhos, e voilá! A imagem é formada. No caso, quando olhamos para o horizonte, nós temos a visão de quase tudo a frente, pois já que a terra é curva a partir de um momento não podemos mais observar a "frente",pense por exemplo em duas pessoas, uma no brasil e outra no japão, elas estão praticamente em lados opostos do globo,logo olhando pra frente de onde estão não podem ver um ao outro, pois a luz se propaga em linha reta e não vai "dar uma volta" no mundo pra chegar onde você quer. O limite do nosso horizonte está no ponto em que os raios de luz emitidos por nossos olhos passam "tangenciando" a terra,ou seja,o vetor de propagação do raio passa paralelo à superfície da terra naquele ponto. O ponto onde você está localizado está a uma distância $(R+h)$ do centro da terra, considerando que você está a uma altura h, a distância entre seu olho e o ponto limite do horizonte pode ser encontrado com um pouco de geometria.A distância entre você e o centro da terra é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos $d$ (sua distância ao horizonte), e $R$, assim, podemos fazer:

$(R+h)^2=R^2+d^2$

$d=\sqrt[2]{2Rh+h^2}$

O triângulo é retângulo pois os raios luminosos tangenciam a terra, fazendo assim 90 graus com o vetor "Raio da terra".

Intermediário

A altura da bola deve ser dada por:

$h=h_{pro} \pm \delta h$

Em que $h_{pro}$ é a altura que corresponde à melhor estimativa sua, e $\delta h$ é a incerteza na sua medida.

A incerteza na nossa medida por ser estimada a partir da graduação do nosso instrumento de medida, como antes foi usado, a incerteza pode ser estimada como metade da graduação:

$\delta h=0,5 mm$

Tomamos como regra que a nossa melhor estimativa (pra erros estimados) deve ser um múltiplo da incerteza. Nesse caso pra cada região de valores temos que admitir um valor para a melhor estimativa (Como assim? :O)

Por exemplo, imagine você fazendo as contas e pegando um valor para $h$, como por exemplo, $0,3 mm$, para esse caso devemos arrendondar o número pra o múltiplo mais próximo da incerteza, no caso temos $0,0 mm$ e $0,5 mm$. $0,3$ é mais próximo de $0,5$, assim nosso valor mais provável é $0,5$ mm. Então nós nunca iremos achar o $h$ previsto,mas uma região em que ele está. Se ele tiver entre $0,0 mm$ e $0,25 mm$, seu valor na nossa declaração de dados será $0,00 mm$, se entre $0,25$ mm e $0,75$ mm nossa declaração seria $0,5 mm$,entre $0,75 mm$ e $1,25 mm$ teríamos $1,00 mm$ e daí por diante..... Para nossa medida ser válida vamos estimar que nossa incerteza pode ser no máximo $20%$ por cento do valor mais provável, ou seja:

$0,2.h_{prop}>\delta h$

$h_{pro}>2,5 mm$

Agora indo para as colisões, a medida que a bolinha ricochetear no chão, irá voltará a uma altura limite cada vez menor,graças ao fato da colisão da bolinha com o chão dissipar energia a cada batida. Temos que:

$\frac{v_{afas}}{v_{aprox}}=e$

Em que $e$ é o coeficiente de restituição da bolinha, $v_{afas}$ é a velocidade  relativa de afastamento e $v_{aprox}$ é a velocidade relativa de aproximação. A velocidade de afastamento da bolinha é a que ela "sobe" depois da colisão, e a de aproximação é a que ela chega ao chão. Considere a colisão "n", após a colisão com o chão a partícula vai subir com velocidade $v$, chegar a um pico, e voltar ao chão com uma velocidade de queda $v$,colidindo e subindo com velocidade $ev$. Assim a cada colisão a velocidade sofre uma redução,pois é multiplicada por um fator $e$ que é menor que um. Podemos achar a velocidade de "subida" após uma colisão genérica se soubermos a velocidade da bolinha antes de qualquer colisão. Se a bolinha chega com $v_{o}$, após n colisões ela terá:

$v_{n}=e^n v_{o}$

E, com essa nova velocidade, a partícula chegará a uma nova altura ,menor que a anterior, podemos achar isso conservando a energia da bolinha (ela se conserva durante o vôo, é dissipada durante e somente nas colisões) o trabalho do peso é igual à variação de energia cinética, logo:

$mgh_{n}=\frac{mv_{n}^2}{2}$

$h_{n}=\frac{v_{n}^2}{2g}$

$h_{n}=e^{2n} \frac{v_{o}^2}{2g}$

Sabemos que ela foi jogada de uma altura H no começo, conservando energia até o momento da primeira colisão:

$mgH=\frac{mv_{o}^2}{2}$

$\frac{v_{o}^2}{2g}=H$

$h_{n}=e^{2n} H$

Assim, para cada $n$ temos um $h_{n}$, temos com isso então uma função de $n$, e vários dados,podemos construir com isso uma curva exponencial e achar nosso $e$.

Avançado

Vamos considerar aqui que as partículas numa superfície qualquer podem sofrer forças mediantes apenas a dois estímulos:

-Contato com a superfície

-Interação com o resto do ambiente

Assim a força na i-ésima partícula é dada por:

$F_{i}=F_{i}^{a} +f_{i}$

Dado um sistema de n partículas, sabemos que as forças de contato não realizaram trabalho sobre "deslocamentos virtuais", e o que são esses deslocamentos virtuais?? Considere uma superfície genérica,num dado instante de tempo t. Mantendo esse tempo t constante vamos mexer a partícula por essa superfície através de deslocamentos "virtuais", pois são deslocamentos "imaginários", "hipotéticos",mas que podem afetar sim a energia da partícula (Forças de vínculos não ideais como o atrito causam dissipação de energia por deslocamentos virtuais).Basicamente um deslocamento virtual faz uma translação no espaço mantendo o tempo constante.Enfim, denotaremos deslocamentos virtuais infinitesimais por $\delta x$.

$\sum_{i=1}^{n} f_{i}.\delta x_{i} =0$

$\sum_{i=1}^{n}(F_{i}-F_{i}^{a}).\delta x_{i} =0$

Mas $F_{i}$ (Força resultante em i):

$F_{i}=m_{i} \frac{dv_{i}}{dt}$

E nosso deslocamento virtual pode ser decomposto de maneira agradável(decompondo o vetor em N graus de liberdade ortogonais):

$\delta x_{i}= \sum_{k=1}^{N}\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}} \delta q_{k}$

Reescrevendo nosso somatório:

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{N} (m_{i} \frac{dv_{i}}{dt} -F_{i}^{a})\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}} \delta q_{k}=0$  (1)

E chamamos:

$\sum_{k=1}^{N} F_{i} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}}=Q_{k}$ (2)

de k-ésima componente da força generalizada.

Podemos também reescrever o primeiro termo da soma de uma maneira mais inteligente.

Note que:

$\frac{\partial v_{i}}{\partial \dot{q_{k}}}=\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}}$ (3)

Pois a projeção do vetor deslocamento em k é em proporção igual à projeção do vetor velocidade em k, pois "$\delta x_{k}=\dot{q_{k}} dt$".Assim:

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{N} m_{i} \frac{dv_{i}}{dt} \frac{\partial v_{i}}{\partial \dot{q_{k}}}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{N}[\frac{d}{dt}(m_{i} \frac{\partial{v_{i}}}{\partial\dot{q_{k}}} v_{i})-m_{i}v_{i} \frac{d}{dt}(\frac{\partial v_{i}}{\partial \dot{q_{k}}})]$

No final ficamos com dois termos, o termo da direita pode ser escrito de maneira mais concisa se fizermos (3) de volta nele,pois:

$\frac{d}{dt}(\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}})=\frac{\partial v_{i}}{\partial q_{k}}$

Assim, se definirmos $T$ como:

$T=\sum_{i=1}^{n} \frac{m_{i}v_{i}^2}{2}$ (Energia Cinética)

e usamos:

$m_{i}v_{i}\frac{dv_{i}}{dp}=\frac{d}{dp}(\frac{m_{i}v_{i}^2}{2})$

Sendo $p$ uma variável genérica, e temos:

$\sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{N} [\frac{d}{dt}(\frac{\partial}{\partial \dot{q_{k}}}(\frac{m_{i}v_{i}^2}{2})) -\frac{\partial}{\partial q_{k}}(\frac{m_{i}v_{i}^2}{2})]=$

$\sum_{k=1}^{N}[\frac{d}{dt}(\frac{\partial}{\partial \dot{q_{k}}}(\sum_{i=1}^{n} \frac{m_{i}v_{i}^2}{2})-\frac{\partial}{\partial q_{k}}(\sum_{i=1}^{n} \frac{m_{i}v_{i}^2}{2})]=$

$\sum_{k=1}^{N}[\frac{d}{dt}(\frac{\partial T}{\partial \dot{q_{k}}})-\frac{\partial T}{\partial q_{k}}] (4)$

Juntando nossas equações para reescrever (1), temos:

$\sum_{k=1}^{N}[\frac{d}{dt}(\frac{\partial T}{\partial \dot{q_{k}}}) -\frac{\partial T}{\partial q_{k}} -Q_{k}]\delta q_{k} =0$

E isso tem que ser verdade para um deslocamento virtual arbitrário, e já que todas direções são independentes entre si devemos impor a condição que o termo multiplicando deve ser zero pra todas componentes k (todos zeros pois vale para qualquer deslocamento virtual).

$\frac{d}{dt}(\frac{\partial T}{\partial \dot{q_{k}}}) -\frac{\partial T}{\partial q_{k}}=Q_{k}$

Que é uma das equações mais gerais da mecânica, o princípio de D'Alembert!! Dela podemos derivar a equação de Euler-Lagrange se supormos as seguintes condições:

1-As forças no sistema são conservativas

2-A energia potencial do sistema não depende da velocidade da partícula.

Podemos escrever então:

$Q_{k}=-\frac{\partial V}{\partial q_{k}}$ (Força é menos o gradiente da energia potencial)

Escrevendo também:

$L=T-V$ (Definição)

$\frac{d}{dt}(\frac{\partial (T-V)}{\partial \dot{q_{k}}})-\frac{\partial (T-V)}{\partial q_{k}}=0$

Perceba que subtrai a energia potencial no primeiro termo, a derivada parcial dela em $\dot{q_{k}}$(não depende de v)  deve ser $0$, logo apenas somei $0$ à equação, assim temos:

$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{k}}}) -\frac{\partial L}{\partial q_{k}}=0$

$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{k}}})=\frac{\partial L}{\partial q_{k}}$

Como queríamos demonstrar.