Soluções Física-Semana 30

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Iniciante

Para encontrar a deformação precisamos apenas usar os dados. Mexendo com a definição de Módulo de Young temos:

\Delta l=\frac{Fl}{AY}

A força no bloco é uma reação da normal no bloco superior, mas esse normal tem o valor igual a peso dele, que é mg, a área da superfície em contato é a^2, área de um quadrado...O comprimento inicial do bloco era a, logo:

\Delta l=\frac{Mg}{aY} (É a deformação em módulo, no caso a deformação é negativa, pois o bloco comprime)

Intermediário

A velocidade do bloquinho é dada por \omega l, em que l é o raio da sua trajetória instantânea, e \omega é sua velocidade angular instantânea. Tendo o bloco girado um ângulo \theta de corda na polia, o novo comprimento de corda é:

l=l_{o}-R\theta (Pois R \theta é o comprimento de corda enroscada,igual ao comprimento de corda preso)

A energia do sistema se conserva,e tendo o bloco apenas energia cinética,ela se conserva, e como a energia cinética se conserva, a velocidade se conserva ao longo de todo o movimento.

v=constante=\omega l=\omega (l_{o}-R\theta)

Sabemos que \omega=\frac{d\theta}{dt}, assim podemos dizer que:

v=\frac{d\theta}{dt} (l_{o}-R\theta) --> vdt=l_{o}d\theta-R\theta d\theta

Integrando dos dois lados nos limites (0 até t) e (0 até \theta), temos:

vt=l_{o}\theta-\frac{R\theta^2}{2}

Quando a corda tiver totalmente enroscada teremos l=0;logo:

l=l_{o}-R\theta_{crit}=0 --> \theta_{crit}=\frac{l_{o}}{R}

vt=l_{o}\theta_{crit}-\frac{R\theta_{crit}^2}{2}=\frac{l_{o}^2}{2R}

t=\frac{l_{o}^2}{2vR}

Avançado

"Como a energia potencial de um sistema termodinâmico U(S,V,N) é uma função homogênea de suas variáveis, tomando a transformada de legendre em relação a todas devemos achar uma função identicamente nula."

Vamos explicar, primeiro, o que é uma transformada de Legendre. Basicamente,numa transformada de Legendre em relação a x, fazemos uma função que depende explicitamente de x começar a depender explicitamente da derivada de x. Veja:

L[f(x)]=f(x)-f'(x).x

f'(x) é a tangente da reta que tangencia a função desse ponto,a transformada de legendre basicamente é o valor do coeficiente linear de f(x) caso esta fosse uma reta. Para verificar que a função é agora explicita de f'(x), veja a seguir:

d(f(x))=f'(x)dx (Função explícita de x, se x não variar f(x) não varia)

d(L(f(x))=d(f(x)-f'(x)x)=f'(x)dx-f'(x)dx-df'(x) x=-xdf'(x) (Função explícita de f'(x), se f'(x) não variar, L[f(x)] não varia)

Considere agora que temos a função energia potencial, sabemos que:

\frac{\partial U}{\partial S}=T

\frac{\partial U}{\partial V}=-p

\frac{\partial U}{\partial N}=\mu

Sabemos que energia potencial é uma propriedade extensiva, ou seja:

U(\lambda S,\lambda V,\lambda N)=\lambda U(S,V,N)

Se tirarmos a derivada parcial em relação a \lambda dos dois lados temos:

\frac{\partialU(\lambda S,\lambda V,\lambda N)}{\partial (\lambda S)} S +\frac{\partialU(\lambda S,\lambda V,\lambda N)}{\partial (\lambda V)} V+\frac{\partialU(\lambda S,\lambda V,\lambda N)}{\partial (\lambda N)} N=U(S,V,N)

Faça \lambda=1, e teremos:

TS-pV+\mu N=U(S,V,N)

E a energia livre de Gibbs G(T,p,N)

G(T,p,N)=U(S,V,N)+pV-TS=\mu N

\mu=\frac{G(T,p,N)}{N}

Assim, temos que o potencial químico do gás é sua energia livre de gibbs por molécula, ou uma definição equivalente trataria como energia por mol, no caso apenas mudaríamos a definição de N.

Poderíamos achar com a mesma ideia da primeira fase ali em cima,olhe:

L[U(S,V,N)]=U(S,V,N)-TS+pV-\mu N=0

A transformada de legendre para três varíaveis leva a uma função identicamente nula.

 

 

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