Soluções Física - Semana 32

Iniciante

Nessa questão precisamos apenas usar a ideia de velocidade relativa, sabemos que, em relação à terra, a bolinha se mexe com $v_{o}$, também sabemos que a velocidade da superfície naquele ponto em relação a alguém que não gira junto com a terra é $\omega R$.Assim,usemos:

$\vec{v_{bola,obs}}=\vec{v_{bola,terra}}+\vec{v_{terra,obs}}$

Como a velocidade de rotação é contrária à velocidade da bolinha em relação à superfície:

$v_{bola,obs}=v_{o}-\omega R$

A direção depende do valor de $v_{o}$, se ele vencer $\omega R$,a bola continua na mesma direção que $v_{o}$,se a velocidade de rotação da terra for maior,então a bola vai no sentido da rotação da terra naquele ponto.

Intermediário

Precisamos apenas escrever as leis de newton pro pêndulo,decompomos a tração nos dois eixos e fazemos a força resultante,estando o pêndulo fazendo um ângulo $\theta_{o}$ com a vertical:

$F_{y}=T cos(\theta_{o})-Mg=0$

$F_{x}=M\omega_{o}^2 l sen(\theta)-T sen(\theta)$

Usamos a condição de equilíbrio para a massinha.

Temos duas soluções:

$\theta_{o}=0\ e\ \omega_{o}=0$

ou

$\theta_{o}=cos^{-1} (\frac{g}{\omega_{o}^2 l})\ com\ \omega_{o}^2 l>g$

Avançado

A cada colisão,a bolinha passa da sua velocidade para a velocidade do carro,transferindo assim um momento de:

$\Delta p=m(u-v)$

Contudo,a taxa de partículas que chegam ao carro se deve à frequência do jogador,que sofre um fator de correção "Doppler":

$\frac{dN}{dt}=\frac{\sigma (u-v)}{u}$

Assim:

$F=\frac{dp}{dt}=M\frac{dv}{dt}=m(u-v) \frac{\sigma (u-v)}{u}$

Mas:

$\frac{dM}{dt}=\frac{\sigma (u-v)}{u}$

Tal que:

$M\frac{dv}{dt}=(u-v)\frac{dM}{dt}$

chamando $u-v$ de $w$:

$\frac{dM}{M}=-\frac{dw}{w}$

$Mw=M(u-v)=M_{o}u=cte$

$M_{o}$ é a massa do carro no começo.

Escrevendo de novo a equação para variação da massa:

$\frac{dM}{dt}=\frac{m(u-v)}{u}=\frac{m}{u} \frac{M_{o} u}{M}--> M\frac{dM}{dt}=m M_{o} \sigma t$

$M=M_{o} \sqrt[2]{1+\frac{2 m \sigma t}{M_{o}}}$

Ou seja:

$M (u-v)=M_{o} u$

$v=u(1-\frac{M_{o}}{M})=u(1-\frac{1}{\sqrt[2]{1+\frac{2 \sigma t m}{M_{o}}}})$