Soluções Física - Semana 40

Iniciante:

Para $V_{0}=0$ temos:

$V_{X}=at$ e $V_{Y}=gt$

(Adotando a aceleração da nave em si como sentido negativo, e, na vertical, para baixo sendo positivo)

Nos levando a:

$X_{(t)}=\frac{at^2}{2}$ e $Y_{(t)}=\frac{gt^2}{2}$

Logo:

$X=Y\frac{a}{g}$

Ou seja, temos uma função linear. E para os casos pedidos:

$a>>g \rightarrow$ reta horizontal;

$a=g \rightarrow$ reta inclinada de $45^0$;

$a<<g \rightarrow$ reta vertical.

_{Imagem 01 - gravidade aparente e eixos rotacionados}

Agora, se tivermos uma velocidade inicial $V$ diferente de $0$, formando um ângulo $\alpha$ com a vertical, no sentido antihorário, para simplificação, tal como visto na imagem 01, poderemos noticiar a gravidade aparente $g'=\sqrt{a^2+g^2}$, a qual forma um ângulo $\theta$ com a vertical, tal que $tan{\theta}=\frac{a}{g}$. Rotacionando a situação neste $\theta$ temos:

$X'=V\sin{(\alpha-\theta)}t$;

$Y'=V\cos{(\alpha-\theta)}t+\frac{gt^2}{2}$;

Logo:

$X'=Y'\frac{2V\sin{(\alpha-\theta)}}{2V\cos{(\alpha-\theta)}}t+g't^2$

Sendo: $t=\frac{X'}{V\sin{(\alpha-\theta)}}$

Temos então:

$\frac{g'}{V\sin{(\alpha-\theta)}}X'^2+2V\cos{(\alpha-\theta)}X'-2V\sin{(\alpha-\theta)}=0$

Ou seja, temos em uma função genérica:

$Y'=K_{1}X'^2+K_{2}X'+K_{3}$

Descrevendo uma parábola. Encontramos assim a trajetória em eixos rotacionados. A razão destes comprimentos para os nos eixos horizontal e vertical da nave mudam, mas o desenho da trajetória permanece. E desta forma vemos que a trajetória do objeto é uma parábola, a qual tende a tangenciar a gravidade aparente ($g'$).

Intermediário:

Situação física: sabemos que quando um corpo se choca com outro de massa muito maior que a sua, a sua velocidade final em relação a este é igual a inicial. E quando um corpo se choca com outro de massa muito menor, sua velocidade permanece inaltera. Além disso, também sabemos que, sendo colisões elásticas, a energia mecânica é conservada.

Quando a bola grande chega ao chão temos, pela transformação de energia potencial em cinética:

$V=\sqrt{2gH}$

A bolinha terá caído a mesma distância $H$ quando chocar-se com a bola grande, pois irá da altura, em relação ao solo, $H+R$ a altura $R$. Assim sendo temos que a velocidade de aproximação delas é de:

$V_{i}=2\sqrt{2gH}$

E como $M>>m$, a bola grande após se chocar com a pequena permanece subindo com a mesma velocidade que tinha. E como ambas se movem para cima, a velocidade de afastamento é dada por:

$V_{f}=v-V$

Onde $v$ é a velocidade da bolinha após o choque. Usando que $V_{I}=V_{f}$. obtemos:

$v-V=V_{i} \rightarrow v=V_{i}+V=3\sqrt{2Hg}$

E conservando a energia novamente e lembrando que a bolinha começa a subir já de uma altura $R$, obtemos:

$H'=9H+R$

É fácil ver que temos uma relação do tipo:

$v_{N}=2v_{N-1}+V$

E assim encontramos a progressão:

$v_{N}=(2^N-1)V$

E por tanto, temos que a altura atingida pela enésima bolinha $h_{N}$, em relação ao seu ponto inicial, corresponde a:

$h_{N}=(2^N-1)^2H$

Avançado:

Situação Física: O momento angular do sistema se conserva, sendo igual a $0$.

Temos que momento angular se da por:

$L=Iw$

Sendo $w$ a velocidade angular do corpo e $I$ momento de inércia, dedo pela expressão:

$\int_{Vol.}{r^2dm}$

Onde $r$ é a distância do corpo ao eixo de giração. Para um disco, uma forma mais simples é integrar como se fossem anéis concêntricos com seus raios indo de $0$ ao raio do disco. Obtemos:

$I_{CM}=\frac{MR^2}{2}$

Contudo o eixo de giração não está no centro de massa do disco (CM) e sim em sua borda ($I_{R}$). Pelo teorema dos eixos paralelos temos:

$I_{r}=I_{CM}+Mr^2 \rightarrow I_{R}=\frac{3}{2}MR^2$

Deste modo:

$L_{Disc}=\frac{3}{2}MR^2\dot{\alpha}$

 Sendo $\alpha$ o ângulo percorrido pelo disco em relação ao pivô.

Para o cão, podemos trata-lo como pontual e obter:

$I_{toto}=mR'^2\dot{\theta}$

É simples ver que $R'=2R\sin{\frac{\gamma}{2}}$

Uma maneira de enxergar o $\theta$ é adotando um eixo como referência e vendo o ângulo que o vetor distância que liga o cão ao eixo pivotado do disco faz com este. O eixo a ser posto como referencial deve ser o mesmo usado para se obter $\alpha$, afim de se manter consistência na análise. O modo simples de faze-lo é utilizar como eixo a reta que passa pelo ponto pivotado e posição inicial do centro do disco, pois com este é fácil de se obter $\alpha$. Ps.: lembre-se que o cão gira no sentido oposto ao do disco e isto deve ser considerado na marcação do ângulo. Assim encontramos:

$\theta=\frac{\pi}{2}+\alpha-\frac{\gamma}{2} \rightarrow \dot{\theta}=\dot{\alpha}-\dot{\frac{\gamma}{2}}$

No fim, para que $L_{T}=0$, temos:

$\frac{3}{2}MR^2\dot{\alpha}=-4mR^2\sin^2{(\frac{\gamma}{2})}(\dot{\alpha}-\dot{\frac{\gamma}{2}})$ $\rightarrow \frac{d\alpha}{dt}(\frac{3}{2}MR^2+4mR^2\sin^2{\frac{(\gamma}{2})})=4mR^2\sin^2{(\frac{\gamma}{2})}\frac{d(\frac{\gamma}{2})}{dt}$

E assim obtemos a relação:

$\alpha=\int{\frac{4mR^2\sin^2{(\frac{\gamma}{2})}d(\frac{\gamma}{2})}{\frac{3}{2}MR^2+4mR^2\sin^2{(\frac{\gamma}{2})}}}$