Iniciante:
Situação Física: Temos o mesmo que ocorre em qualquer lançamento oblíquo. Há várias formas de tratar este problema, contudo adotarei a que julgo ser de mais fácil entendimento, a por analítica, a qual consiste em determinar as coordenadas (X,Y) do ponto no qual o projétil se choca com a rampa, obter o tempo, obter a distância em uma das coordenadas e projetar sobre o plano para obter d.
Sabemos que:
X=vcos(θ)t e Y=vsin(θ)t−gt22
Para um ponto qualquer na rampa:
YX=−tan(θ)
Logo, substituindo com as equações de X e Y:
vsin(θ)t−gt22=−vsin(θ)t→t=4vsin(θ)g
Tendo o tempo, é simples obter a distância em uma das coordenadas:
X=vcos(θ)t→X=4v2cos(θ)sin(θ)g
E sabemos que d é a projeção de umas das coordenadas sobre a rampa, logo:
d=Xcos(θ)→d=4v2sin(θ)g
Intermediário:
Situação Física: este problema é surpreendentemente simples para quem esta familiarizado com V=˙X=dXdt, ou seja, que a velocidade é a primeira derivada da distância no tempo, e que a aceleração se da como a=˙V=dVdt. O problema inteiro consiste em diferenciais e integrais simples, não saindo do foco de estudo para OBF.
Parte A) Temos:
a=Fm=−bmv
Equivalente a:
dVdt=−bmdXdt
E assim:
∫VV0dV=−bm∫X0dx
Sabemos que intdK=K e assim chegamos a:
V=V0−bmX→X=m(V0−V)b
Treine mais e verifique a dimensão! Caso tenha dúvidas sobre, em breve teremos material explicativo!
Parte B) Temos:
a=−bmv2→dVdt=−bmvdXdt
(Desmembre v2 em vv)
Chegam0s a:
∫VV0dvv=−Xbm→ln(V)−ln(V0)=−Xbm
Caso você não soubesse, lhe foi fornecido que ∫dKK=lnK. Por fim chegamos a:
V=V0e−Xbm→X=mbln(V0V)
Vemos que a equação descreve uma distância infinita!
Treine mais e verifique a dimensão! Caso tenha dúvidas sobre, em breve teremos material explicativo!
Avançado:
Situação Física: Um modo mais simples de analisar e resolver tal problema é olhando para a ponta da lente, a qual tem espessura ínfima e sabemos facilmente o ângulo que o raio de luz incidente faz com a parede plana da lente, e lá marcamos os ângulos até obtermos α. Para isso, antes precisamos de saber o valor do índice de refração desta lente. Um modo de obtê-lo é colocando que como os raios de luz saem em fase, eles percorrem o mesmo caminho óptico.
Para o índice de refração N, igualamos os caminhos ópticos:
RNar+NR=√2R+RNar→N=√2
Na ponta da lente aplicamos a Lei de Snell:
Narsin(45o)=Nsin(θ)
Sabendo que Nar=1, temos que θ=300.
Analisando (detalhada no fim) os ângulos sabendo que os raios saem paralelos, e aplicando a Lei de Snell:
√2sin(α−30o)=sin(α)→√2(sin(α)cos(30o)−sin(30o)cos(α))=sin(α)
Dividindo tudo por cos(α) chegamos a:
tan(α)=√2√6−2
Caso esteja com dificuldades para obter os ângulos citados, observe abaixo:
Figura 01: Zoom no vértice da lente e raio de luz
A figura acima mostra os ângulos que tratamos. Olhando para um ponto muito próximo ao vértice podemos tratar a superfície côncava como uma reta de inclinação igual a do vértice (α). Traçamos então o raio de luz e olhamos os ângulos que este faz com as linhas perpendiculares a cada superfície, lembrando que este sai paralelo a horizontal.